《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

6. 如图 15.3 - 5,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E$,$F分别在边AB$,$BC$,$AC$上,且$BE = CF$,$BD = CE$。
(1) 求证：$\triangle DEF$是等腰三角形；
(2) 当$\angle A = 50^{\circ}$时,求$\angle DEF$的度数。

答案：

(1)证明：

∵ $AB = AC$，

∴ $∠B = ∠C$。

在$\triangle BDE$和$\triangle CEF$中，

$\begin{cases}BE = CF, \\∠B = ∠C, \\BD = CE,\end{cases}$

∴ $\triangle BDE \cong \triangle CEF(SAS)$，

∴ $DE = EF$，

∴ $\triangle DEF$是等腰三角形。

(2)解：

∵ $∠DEC = ∠B + ∠BDE$，

即 $∠DEF + ∠CEF = ∠B + ∠BDE$。

∵ $\triangle BDE \cong \triangle CEF$，

∴ $∠CEF = ∠BDE$，

∴ $∠DEF = ∠B$。

∵ $AB = AC$，$∠A = 50^{\circ}$，

∴ $∠B = 65^{\circ}$，

∴ $∠DEF = 65^{\circ}$。

*7. 如图 15.3 - 6,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB＞BC$,在线段$AB上取一点D$,使得$BD = BC$,连接$CD$,在线段$AB的延长线上取一点E$,使得$CE = CD$,$\angle E = \alpha$。
(1) 求$\angle ACB$的度数；(用含$\alpha$的式子表示)
(2) 延长线段$BC至点F$,使得$CF = BE$,连接$FD交AC于点G$,依题意补全图形,用等式表示线段$CG与CB$的数量关系,并证明。

答案：

解：
(1)
∵$CE = CD$，$∠E = \alpha$，

∴$∠EDC = ∠E = \alpha$．

∵$BD = BC$，

∴$∠BCD = ∠BDC = \alpha$．

在$\triangle BDC$中，$∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180^{\circ}$，

∴$∠DBC = 180^{\circ} - 2\alpha$．

∵$AB = AC$，

∴$∠ACB = ∠ABC = 180^{\circ} - 2\alpha$．

(2)$CG=\frac{1}{2}CB$。

证明：在$CA$上取一点$M$，使得$CM = CB$，连接$DM$，

在$\triangle EDC$中，$\angle E+\angle EDC+\angle DCE = 180^{\circ}$，且$\angle E=\angle EDC = a$，

$\therefore\angle DCE = 180^{\circ}-2a$。

$\because\angle ACB = 180^{\circ}-2a$，

$\therefore\angle DCE=\angle ACB$，

$\therefore\angle MCD=\angle BCE$。

$\because CD = CE$，

$\therefore\triangle MCD\cong\triangle BCE(SAS)$，

$\therefore MD = BE$，$\angle MDC=\angle E = a$。

$\because CF = BE$，

$\therefore MD = CF$。

$\because\angle BCD = a$，

$\therefore\angle MDC=\angle DCB$，

$\therefore DM// BF$，

$\therefore\angle MDG=\angle CFG$。

$\because\angle DGM=\angle FGC$，

$\therefore\triangle DGM\cong\triangle FGC(AAS)$，

$\therefore MG = CG$，

$\therefore CG=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}CB$。