《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

21. (6分)如图14-19,在$Rt△ABC$中,$∠A = 90^{\circ}$,点$D$,$E分别在AC$,$AB$上,满足$DE = DC$,$∠DEB + ∠C = 180^{\circ}$,连接$BD$,求证：$BD平分∠ABC$.

答案： 证明：过点D作DF⊥BC于点F，则∠DFC=90°．
∵∠DEB+∠DEA=180°（邻补角定义），∠DEB+∠C=180°（已知），
∴∠DEA=∠C（同角的补角相等）．
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠DEA=90°（直角三角形两锐角互余）．
∵DF⊥BC，
∴∠CDF+∠C=90°（直角三角形两锐角互余）．
∵∠DEA=∠C，
∴∠ADE=∠CDF（等角的余角相等）．
在△DEA和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DEA=∠C,\\ DE=DC,\\ ∠ADE=∠CDF,\end{array}\right.$
∴△DEA≌△DCF（ASA）．
∴DA=DF（全等三角形对应边相等）．
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，即DA为点D到AB的距离；DF⊥BC，即DF为点D到BC的距离．
∵点D到AB，BC的距离相等，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

*22. (10分)如图14-20,在$△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,直线$MN经过点C$,且$AD⊥MN于点D$,$BE⊥MN于点E$.

(1)当直线$MN绕点C$旋转到如图14-20①所示的位置时,求证：
①$△ADC≌△CEB$；②$DE = AD + BE$.
(2)当直线$MN绕点C$旋转到如图14-20②所示的位置时,判断$DE$,$AD$,$BE$具有怎样的数量关系,并加以证明.
(3)当直线$MN绕点C$旋转到如图14-20③所示的位置时,请直接写出$DE$,$AD$,$BE$的数量关系.

答案： 1. （1）
①证明$\triangle ADC\cong\triangle CEB$：
因为$AD\perp MN$，$BE\perp MN$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE=90^{\circ}$。
而$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中：
$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADC\cong\triangle CEB$。
②证明$DE = AD + BE$：
因为$\triangle ADC\cong\triangle CEB$，所以$AD = CE$，$CD = BE$。
又因为$DE=CD + CE$，所以$DE = AD + BE$。
2. （2）
判断$DE$，$AD$，$BE$的数量关系并证明：
$DE = AD - BE$。
证明：因为$AD\perp MN$，$BE\perp MN$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE=90^{\circ}$。
而$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中：
$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$
根据$AAS$，可得$\triangle ADC\cong\triangle CEB$。
所以$AD = CE$，$CD = BE$。
又因为$DE=CE - CD$，所以$DE = AD - BE$。
3. （3）
$DE = BE - AD$。