《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

5. 如图 15.1 - 13,线段 AB,BC 的垂直平分线 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交于点 O,若∠1 = 39°,则∠AOC = 78°。

答案： 78°

6. 两个城镇 A,B、两条公路 $ l_1 $,$ l_2 $ 的位置如图 15.1 - 14 所示。如果在 C 处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇 A,B 的距离必须相等,到两条公路 $ l_1 $,$ l_2 $ 的距离也必须相等,那么点 C 应选在何处？请在图中,用尺规作图法找出所有符合条件的位置。(不写作法,只保留作图痕迹)

答案：

点 $C$ 应选在 $C_1$ 和 $C_2$ 处。

7. 如图 15.1 - 15,∠BAC 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,垂足分别为 E,F。
(1) 求证：BE = CF；

(2) 若 AF = 6,BC = 7,求△ABC 的周长。

答案：

(1) 证明：如图，连接 $ CD $。

因为点 $ D $ 在 $ BC $ 的垂直平分线上，所以 $ BD = CD $。
因为 $ DE \perp AB $，$ DF \perp AC $，$ AD $ 平分 $ \angle BAC $，所以 $ DE = DF $，$ \angle BED=\angle CFD = 90^{\circ} $。
在 $ Rt\triangle BDE $ 和 $ Rt\triangle CDF $ 中，$\begin{cases}DE = DF\\BD = CD\end{cases}$，所以 $ Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL) $。
所以 $ BE = CF $。
(2) 在 $ Rt\triangle ADE $ 和 $ Rt\triangle ADF $ 中，$\begin{cases}DE = DF\\AD = AD\end{cases}$，所以 $ Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL) $。
所以 $ AE = AF = 6 $。
所以 $ \triangle ABC $ 的周长 $ = AB + BC + AC=(AE + BE)+BC+(AF - CF)=AE + BC+AF = 6 + 7+6 = 19 $。