《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

问题 1：如图 Z2 - 1,小河边有两个村庄 $ A $,$ B $,要在河边建一自来水厂向 $ A $ 村与 $ B $ 村供水。
(1) 若要使自来水厂到 $ A $,$ B $ 两村的距离相等,则应选择在哪里建厂？请在图 Z2 - 1①中画出来,并用点 $ P_{1} $ 表示；
(2) 若要使自来水厂到 $ A $,$ B $ 两村的水管最省料,则应选择在哪里建厂？请在图 Z2 - 1②中画出来,并用点 $ P_{2} $ 表示。

问题 2：如图 Z2 - 2,村庄 $ A $,$ B $ 在一条河的两岸,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河垂直,设河的宽度不变,试问：桥架在何处,才能使从 $ A $ 到 $ B $ 的路径最短？

问题 3：如图 Z2 - 3,在 $ P $,$ Q $ 两村之间有两条河,且每条河的宽度相同,从 $ P $ 村到 $ Q $ 村,要经过两座桥 $ EF $,$ MN $。现在要设计一条道路,并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的桥,问：如何设计桥 $ EF $,$ MN $ 的位置,使由 $ P $ 村到 $ Q $ 村的路径最短？(要求在图上标出道路和桥的位置)

答案： 问题1
- **（1）
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
作线段$AB$的垂直平分线，与河岸（设为直线$EF$）的交点即为$P_{1}$（作图略）。
（2）
作点$A$关于河岸$EF$的对称点$A'$，连接$A'B$，与河岸$EF$的交点即为$P_{2}$（作图略）。原理是两点之间线段最短，此时$AP_{2}+BP_{2}=A'P_{2}+BP_{2}=A'B$ 。
问题2
1. 过点$A$作河岸的垂线$AA'$，使$AA'$等于河宽。
2. 连接$A'B$，与靠近$B$村的河岸交于点$D$。
3. 过点$D$作垂直于河岸的桥$CD$，则$CD$的位置即为所求（作图略）。此时$AC + CD+DB=A'D + CD+DB$，因为$CD$为定值（河宽），根据两点之间线段最短，$A'D + DB$最短 。
问题3
1. 过点$P$作第一条河河岸$l_{1}$的垂线$PP'$，使$PP'$等于河宽；过点$Q$作第二条河河岸$l_{3}$的垂线$QQ'$，使$QQ'$等于河宽。
2. 连接$P'Q'$，分别与第一条河的另一条河岸$l_{2}$、第二条河的另一条河岸$l_{4}$交于点$E$、$N$。
3. 过点$E$作垂直于$l_{1}$、$l_{2}$的桥$EF$，过点$N$作垂直于$l_{3}$、$l_{4}$的桥$MN$，则$EF$、$MN$的位置即为所求（作图略）。原理是通过平移（桥宽为平移距离），将路径转化为线段$P'Q'$，根据两点之间线段最短，此时$P$到$Q$的路径$P - F - E - M - N - Q$最短（$PF = PP'$，$QN=QQ'$为定值）。