《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

7. 利用因式分解计算：
(1)$2025^{2}-4048× 2025+2024^{2}$；
(2)$\frac{1}{2}× 3.7^{2}-3.7× 2.7+\frac{1}{2}× 2.7^{2}$.

答案： $(1)$
解：
$\begin{aligned}&2025^{2}-4048×2025 + 2024^{2}\\=&2025^{2}-2×2024×2025 + 2024^{2}\\=&(2025 - 2024)^{2}\\=&1^{2}\\=&1\end{aligned}$
$(2)$
解：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}×3.7^{2}-3.7×2.7+\frac{1}{2}×2.7^{2}\\=&\frac{1}{2}(3.7^{2}-2×3.7×2.7 + 2.7^{2})\\=&\frac{1}{2}(3.7 - 2.7)^{2}\\=&\frac{1}{2}×1^{2}\\=&\frac{1}{2}\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{1}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。

*8. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-4x= y$,
原式$=(y+2)(y+6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$(第四步).
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了(C).
A. 提公因式法
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果：$(x-2)^{4}$(若彻底,则此空可不填).
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解.
解：设$x^{2}-2x=y$，
原式$=y(y+2)+1$
$=y^{2}+2y+1$
$=(y+1)^{2}$
$=(x^{2}-2x+1)^{2}$
$=(x-1)^{4}$

答案：
(1)C
(2)不彻底 $(x-2)^{4}$
(3)$(x-1)^{4}$