《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

7. 如图 14.3 - 8,$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线,$ AB = BC $,点 $ P $ 在 $ BD $ 上,$ PM \perp AD $,$ PN \perp CD $,垂足分别是 $ M $,$ N $。求证：$ PM = PN $。

答案： 由题意知$BD$为$\angle ABC$的平分线，
则$\angle ABD = \angle CBD$，
在$\bigtriangleup ABD$和$\bigtriangleup CBD$中
$\begin{cases}AB = BC,\\\angle ABD = \angle CBD ,\\BD = BD.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD ≌ \triangle CBD (SAS)$，
$\therefore \angle ADP = \angle CDP$，
$\because PM \bot AD$，$PN \bot CD$，
$\therefore PM = PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

8. 如图 14.3 - 9,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $,点 $ F $ 在边 $ AC $ 上,$ BD = DF $。
(1) 求证：$ BE = FC $；
(2) 若 $ AB = 15 $,$ AF = 9 $,求 $ FC $ 的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DC = DE$。
在$Rt\triangle DCF$和$Rt\triangle DEB$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = DF\\DC = DE\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等，可得$Rt\triangle DCF\cong Rt\triangle DEB$。
所以$BE = FC$（全等三角形的对应边相等）。
2. （2）解：
设$FC=x$，则$BE = x$，$AE=AB - BE=15 - x$，$AC=AF + FC=9 + x$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，$AD = AD$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等，可得$\triangle ACD\cong\triangle AED$（$\angle CAD=\angle EAD$，$\angle C=\angle AED = 90^{\circ}$，$AD = AD$）。
所以$AC = AE$（全等三角形的对应边相等）。
则$9 + x=15 - x$。
移项可得$x+x=15 - 9$，即$2x = 6$。
解得$x = 3$。
所以（1）得证$BE = FC$；（2）$FC$的长为$3$。

如图 14.3 - 10,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle B= \angle C = 90^{\circ}$,$E$ 是 $BC$ 的中点,$DE$ 平分 $\angle ADC$。

(1) 求证：$AE$ 平分 $\angle BAD$；
(2) 判断 $AB$,$CD$,$AD$ 之间的数量关系,并证明。
【思路分析】本题考查角的平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质. (1) 过点 $E$ 作 $EF\perp DA$ 于点 $F$,根据角的平分线的性质得出 $CE = EF$,进而得出 $BE = EF$,再根据角的平分线的判定即可得出结论；(2) 证明 $Rt\triangle DFE\cong Rt\triangle DCE(HL)$,根据全等三角形的性质得出 $DC = DF$,同理 $AF = AB$,即可得出结论.

答案：
【解答】
(1) 如图 14.3 - 11,过点 $E$ 作 $EF\perp DA$ 于点 $F$,

$\because\angle C = 90^{\circ}$,$DE$ 平分 $\angle ADC$,$\therefore CE = EF$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore BE = CE$,$\therefore BE = EF$.
又 $\because\angle B = 90^{\circ}$,$\therefore AE$ 平分 $\angle BAD$.
(2) $AD = CD + AB$,证明如下：
$\because\angle C= \angle DFE = 90^{\circ}$,$\therefore$ 在 $Rt\triangle DFE$ 和 $Rt\triangle DCE$ 中,$\begin{cases}DE = DE,\\EF = EC,\end{cases} $
$\therefore Rt\triangle DFE\cong Rt\triangle DCE(HL)$,$\therefore DC = DF$,同理 $AF = AB$.
$\because AD = AF + DF$,$\therefore AD = CD + AB$.