《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

15. (7分)如图15-13,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$D是AC$上的一点,$BC = DC$,过点$D作AC的垂线交AB于点E$. 求证：$CE垂直平分BD$.

答案： 证明：
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=∠CDE=90°．
在Rt△CBE和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} CE=CE\quad (公共边)\\ BC=DC\quad (已知) \end{array}\right.$
∴Rt△CBE≌Rt△CDE（HL）．
∴BE=DE（全等三角形对应边相等）．
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）．
∵BC=DC，
∴点C在线段BD的垂直平分线上（同理）．
∵两点确定一条直线，
∴CE是线段BD的垂直平分线．
即CE垂直平分BD．

16. (7分)如图15-14,在$\triangle ABD$中,$\angle ABC = 45^{\circ}$,$AC$,$BF为\triangle ABD$的两条高.
(1)求证：$BE = AD$；
(2)若过点$C作CM// AB$,交$AD于点M$,求证：$BE = AM + EM$.

答案：
(1)证明：
∵AC、BF为△ABD的高，
∴∠ACB=∠ACD=∠AFB=90°．
∵∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠BEC+∠EBC=90°，∠AED+∠EAD=90°，∠BEC=∠AED（对顶角相等），
∴∠EBC=∠EAD．
在△BCE和△ACD中，
$\begin{cases} ∠EBC=∠DAC \\ BC=AC \\ ∠BCE=∠ACD=90° \end{cases}$
∴△BCE≌△ACD（ASA），
∴BE=AD．
(2)证明：
∵CM//AB，
∴∠MCD=∠ABC=45°（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACD=90°，
∴∠ACM=∠ACD-∠MCD=45°，即∠ACM=∠MCD．
由
(1)知△BCE≌△ACD，
∴CE=CD．
在△CEM和△CDM中，
$\begin{cases} CE=CD \\ ∠ECM=∠DCM \\ CM=CM \end{cases}$
∴△CEM≌△CDM（SAS），
∴EM=DM．
∵AD=AM+DM，且DM=EM，
∴AD=AM+EM．
又
∵BE=AD，
∴BE=AM+EM．