《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

1. 判定两个三角形全等的基本事实“角边角”指的是：两角和夹边分别相等的两个三角形全等.

答案： 两角，夹边。

2. 判定两个三角形全等的定理“角角边”指的是：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等.

答案： 两角；其中一角的对边

3. “角边角”和“角角边”有什么作用?

答案： “角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）是判定三角形全等的方法。
它们的作用主要有：
- 用于证明两个三角形全等，通过已知的角和边的关系，确定三角形的形状和大小完全相同。
- 在几何证明中，为后续证明线段相等、角相等、平行、垂直等提供基础。
- 帮助解决与三角形相关的实际问题，例如测量、建筑设计等领域中确定图形的形状和尺寸。
例如，在证明线段$AB = CD$时，如果能证明$\triangle ABC\cong\triangle DCB$（通过 ASA 或 AAS 判定），那么根据全等三角形的对应边相等，就可以得出$AB = CD$。
具体来说：
- **角边角（ASA）**：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。用符号表示为：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle A=\angle A'$，$AB = A'B'$，$\angle B=\angle B'$，则$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$（ASA）。
- **角角边（AAS）**：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。用符号表示为：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$BC = B'C'$，则$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$（AAS）。
通过这两种判定方法，可以准确地判断两个三角形是否全等，从而为解决几何问题提供有力的工具。

如图 14.2 - 10,点 $A$,$D$,$C$,$B$ 在同一条直线上,$DE// CF$,$DF// EC$,$AD = BC$.

(1) 求证：$\triangle DEC\cong\triangle CFD$；
(2) 求证：$AE// FB$.
【思路分析】(1) 根据“两直线平行,内错角相等”可推出 $\angle EDC= \angle FCD$,$\angle ECD= \angle FDC$,然后利用“ASA”即可得出结论. (2) 由(1)可得 $\angle ECA= \angle FDB$,$\triangle DEC\cong\triangle CFD$,根据全等三角形的性质可得 $CE = DF$,利用等式的性质可得 $AC = BD$. 然后利用“SAS”可证得 $\triangle AEC\cong\triangle BFD$,于是可得 $\angle EAC= \angle FBD$,最后根据“内错角相等,两直线平行”即可得出结论.

答案： 【解答】
(1) $\because DE// CF$,$\therefore\angle EDC= \angle FCD$. $\because DF// EC$,$\therefore\angle ECD= \angle FDC$.
在 $\triangle DEC$ 和 $\triangle CFD$ 中,$\begin{cases}\angle EDC= \angle FCD,\\DC = CD,\\\angle ECD= \angle FDC,\end{cases} $ $\therefore\triangle DEC\cong\triangle CFD(ASA)$.
(2) 由
(1)知 $\angle ECD= \angle FDC$,即 $\angle ECA= \angle FDB$；$\triangle DEC\cong\triangle CFD$,$\therefore CE = DF$.
$\because AD = BC$,$\therefore AD + DC = BC + DC$,即 $AC = BD$.
在 $\triangle AEC$ 和 $\triangle BFD$ 中,$\begin{cases}CE = DF,\\\angle ECA= \angle FDB,\\AC = BD,\end{cases} $ $\therefore\triangle AEC\cong\triangle BFD(SAS)$. $\therefore\angle EAC= \angle FBD$. $\therefore AE// FB$.