《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

如图 15.3 - 1,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD是BC$边上的中线,$BE\perp AC于点E$。求证：$\angle CBE = \angle BAD$。

【思路分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得$\angle CAD = \angle BAD$,$AD\perp BC$,根据同角的余角相等可得$\angle CBE = \angle CAD$,再根据等量关系得到$\angle CBE = \angle BAD$。

答案： 【解答】$\because AB = AC$,$AD是BC$边上的中线,$\therefore \angle CAD = \angle BAD$,$AD\perp BC$。$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$。
又$\because BE\perp AC$,$\therefore \angle CBE + \angle C = 90^{\circ}$,$\angle CAD + \angle C = 90^{\circ}$,$\therefore \angle CBE = \angle CAD = \angle BAD$。

1. 一个等腰三角形的两边长分别为$2和5$,则它的周长为(C)。
A.$7$
B.$9$
C.$12$
D.$9或12$

答案： C

2. 如图 15.3 - 2,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 100^{\circ}$,$AC = AE$,$BC = BD$,则$\angle DCE$的度数为(D)。

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$

C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： D

3. 已知等腰三角形的一个角是$40^{\circ}$,则它的顶角的度数是40°或100°。

答案： 40°或100°

4. 借助如图 15.3 - 3 所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒$OA$,$OB$组成,两根棒在点$O相连并可绕点O$转动,点$C$固定,$OC = CD = DE$,点$D$,$E$可在槽中滑动。若$\angle BDE = 75^{\circ}$,则$\angle CDE = $80。

答案： 80

5. 如图 15.3 - 4,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD平分\angle ABC交AC于点D$。求证：$AD = BD$。

答案： 因为$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，
根据等腰三角形性质及三角形内角和定理，
所以$\angle ABC=\angle C = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=72^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$。
所以$\angle A = \angle ABD = 36^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据等角对等边，
所以$AD = BD$。