《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

7. 如图 14.2 - 17,已知 $AB = AC$,$\angle ABE= \angle 2$,$\angle BAC= \angle EAD$ ,$\angle 1 = 25^{\circ}$,$\angle 2 = 30^{\circ}$.
(1) 求证：$\triangle ABE\cong\triangle ACD$；
(2) 求 $\angle 3$ 的度数.

答案：

（1）证明：

∵ $∠BAC = ∠EAD$，
∴ $∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC$，即 $∠BAE = ∠1$。在 $△ABE$ 和 $△ACD$ 中，
∵ $∠ABE = ∠2$，$AB = AC$，$∠BAE = ∠1$，
∴ $△ABE ≌ △ACD(ASA)$。

（2）解：由（1）知，$∠BAE = ∠1 = 25^{\circ}$。又
∵ $∠ABE = ∠2 = 30^{\circ}$，

∴ $∠3 = ∠ABE + ∠BAE = 30^{\circ} + 25^{\circ} = 55^{\circ}$。

8. 如图 14.2 - 18,$AC = CE$,$\angle ACE = 90^{\circ}$,$AB\perp BD$,$ED\perp BD$,$AB = 6 cm$,$DE = 3 cm$.
(1) 求证：$\triangle ABC\cong\triangle CDE$；
(2) 求 $BD$ 的长度.

答案： 1. （1）证明：
因为$AB\perp BD$，$ED\perp BD$，$\angle ACE = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAC+\angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle ECD+\angle BCA = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle BAC=\angle ECD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle BAC=\angle ECD\\AC = CE\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle CDE$。
2. （2）
因为$\triangle ABC\cong\triangle CDE$，所以$BC = DE$，$AB = CD$。
已知$AB = 6cm$，$DE = 3cm$，则$CD = 6cm$，$BC = 3cm$。
由$BD=BC + CD$，可得$BD=3 + 6=9(cm)$。
综上，（1）已证$\triangle ABC\cong\triangle CDE$；（2）$BD$的长度为$9cm$。

1. 判定两个三角形全等的基本事实“边边边”指的是：三边分别相等的两个三角形全等.

答案： 三边

2. 如何用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角？作图依据是什么？

答案： 作图步骤：
1. 作射线O'A'；
2. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
3. 以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
4. 以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第3步所画弧交于点D'；
5. 过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求角。
作图依据：
由作图知OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，根据“边边边”（SSS）全等判定定理，得△OCD≌△O'C'D'，故对应角∠COD=∠C'O'D'，即∠AOB=∠A'O'B'。

3. 判定两个直角三角形全等的定理“HL”指的是：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

答案： 斜边；一条直角边

4. “边边边”“斜边、直角边”有什么作用？

答案： “边边边”（SSS）和“斜边、直角边”（HL）是三角形全等判定的重要定理。
“边边边”（SSS）的作用：
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
“斜边、直角边”（HL）的作用：
如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。