《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

19. (10分)如图15-17,在等腰三角形$ABC$中,$CA = CB = 4$,$\angle ACB = 120^{\circ}$,点$D在线段AB$上运动(不与点$A$,$B$重合),将$\triangle CAD与\triangle CBD分别沿直线CA$,$CB翻折得到\triangle CAP与\triangle CBQ$.
(1)求证：$CP = CQ$；
(2)求$\angle PCQ$的度数；
(3)当点$D是AB$的中点时,判断$\triangle DPQ$的形状,并说明理由.

答案：

(1)
∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP = CD = CQ。

(2)
∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP = ∠ACD，∠BCQ = ∠BCD，
∴∠ACP + ∠BCQ = ∠ACD + ∠BCD = ∠ACB = 120°，
∴∠PCQ = 360° - (∠ACP + ∠BCQ + ∠ACB) = 360° - (120° + 120°) = 120°。

(3)△DPQ是等边三角形。理由如下：
∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD = AP，∠DAC = ∠PAC。
∵∠DAC = 30°，
∴∠PAD = 60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD = AD，∠ADP = 60°。同理△BDQ是等边三角形，
∴DQ = BD，∠BDQ = 60°，
∴∠PDQ = 60°。
∵点D是AB的中点，
∴AD = BD，
∴PD = DQ，
∴△DPQ是等边三角形。

20. (12分)如图15-18,$\triangle ABC$是边长为6的等边三角形,点$P是边AC$上的一动点,由点$A向点C$运动(与点$A$,$C$不重合),点$Q是CB$延长线上的一点,与点$P同时以相同的速度由点B向CB$的延长线方向运动(点$Q不与点B$重合),过点$P作PE\perp AB于点E$,连接$PQ交AB于点D$.
(1)当$\angle BQD = 30^{\circ}$时,求$AP$的长.
(2)求证：在运动过程中,点$D是线段PQ$的中点.
(3)运动过程中线段$ED$的长是否发生变化？如果不发生变化,求出线段$ED$的长；如果发生变化,请说明理由.

答案：

解：

(1)
∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB = 60°．
∵∠BQD = 30°，

∴∠QPC = 90°．

设AP为x，则PC = 6 - x，QB = x，QC = 6 + x．

在Rt△QCP中，∠BQD = 30°，

∴PC = $\frac{1}{2}$QC，即6 - x = $\frac{1}{2}$(6 + x)，解得x = 2，

∴AP = 2．

(2)当点P，Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不变，理由如下：

如图，过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于点F．

∴∠QFB = ∠PEA = 90°，

∠A = ∠ABC = ∠FBQ = 60°．

在△QFB和△PEA中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FBQ=\angle A,\\ \angle F=\angle AEP,\\ QB = AP,\end{array}\right.$

∴△QFB≌△PEA．

∴QF = PE，BF = AE．

在△QDF和△PDE中，

$\left\{\begin{array}{l}\angle QDF=\angle PDE,\\ \angle QFD=\angle PED,\\ QF = PE,\end{array}\right.$

∴△QDF≌△PDE．
∴DF = DE．
∴DE = $\frac{1}{2}$EF．

∵BF + BE = AE + BE，
∴EF = AB．

∴DE = $\frac{1}{2}$AB = 3．