《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

8. 如图 13.3 - 6,在$\triangle ABC$中,$CD$,$CE分别是\triangle ABC$的高和角平分线,$∠A = \alpha$,$∠B = \beta(\alpha＞\beta)$。
(1)若$\alpha = 2\beta = 80^{\circ}$,求$∠DCE$的度数；
(2)试用含$\alpha$,$\beta的代数式表示∠DCE$的度数：$∠DCE = $$\frac{\alpha-\beta}{2}$。

(1)20°

答案：
(1)20°
(2)$\frac{\alpha-\beta}{2}$

综合与实践课上,同学们以“一个含 $30^{\circ}$ 角的三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动. 如图 13. 3 - 7,已知两直线 $a$,$b$,且 $a// b$,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$\angle BAC = 30^{\circ}$.

(1) 如图 13. 3 - 7①,若 $\angle 1 = 42^{\circ}$,求 $\angle 2$ 的度数；
(2) 小颖同学将图 13. 3 - 7①中的直线 $a$,$b$ 均向上平移并旋转 $\triangle ABC$ 得到图 13. 3 - 7②,若 $\angle 2 = 4\angle 1$,求 $\angle 1$ 的度数.
【思路分析】(1) 由题意可得 $\angle ACP = \angle 1 + \angle ACB = 132^{\circ}$,再由平行线的性质可求得 $\angle 2$ 的度数；(2) 由 $\angle ACB = 90^{\circ}$ 可得 $\angle CMN + \angle CNM = 90^{\circ}$,再利用已知条件和平行线的性质可求得 $\angle 1$ 的度数.

答案： 【解答】
(1) 如图 13. 3 - 7①,$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle 1 = 42^{\circ}$.
$\therefore \angle ACP = \angle 1 + \angle ACB = 132^{\circ}$.
$\because a// b$,$\therefore \angle 2 = \angle ACP = 132^{\circ}$.
(2) 由题知,$\angle 1 = \angle CMN$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle CNM = 180^{\circ} - \angle ANM$.
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$\therefore \angle CMN + \angle CNM = 90^{\circ}$.
$\because a// b$,$\therefore \angle 2 = \angle ANM$.
$\because \angle 2 = 4\angle 1$,$\angle CMN + \angle CNM = 90^{\circ}$,$\therefore \angle 1 + (180^{\circ} - 4\angle 1) = 90^{\circ}$,$\therefore \angle 1 = 30^{\circ}$.