《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

请同学们阅读以下材料,并运用本章学过的知识解决问题。
材料 1：
物理上的重心是物体各部分所受重力的合力作用点。
匀质薄板的重心位置与薄板的形状和质量分布有关。对于形状规则的匀质薄板,其重心通常位于几何中心。
若匀质薄板的形状规则,如正方形、圆或长方形,则重心通常位于几何中心,如图 Z1 - 1 所示。

材料 2：形状是组合图形的匀质薄板的重心位置的确定。
确定形状是组合图形的匀质薄板的重心位置,可以按照以下步骤进行：
1. 分解图形：将组合图形分解为若干简单图形(如长方形、三角形、圆等),这些简单图形的重心位置已知。
2. 建立适当的平面直角坐标系,确定各简单图形的重心坐标$(x_{i},y_{i})$。($i$为正整数)
3. 计算各简单图形的面积$A_{i}$。
4. 计算整体重心坐标$(X,Y)$：
使用公式$X = \frac{x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + … + x_{i}A_{i}}{A_{1} + A_{2} + … + A_{i}}$,$Y = \frac{y_{1}A_{1} + y_{2}A_{2} + … + y_{i}A_{i}}{A_{1} + A_{2} + … + A_{i}}$。
通过计算可得,组合图形的重心坐标为$(X,Y)$。
5. 验证结果：确保计算无误,必要时重新核对。
总结：先分解图形,再确定各部分的面积和重心坐标,最后利用公式求出组合图形的重心坐标,即可确定形状是组合图形的匀质薄板的重心位置。
材料 3：验证一块形状不规则的匀质薄板的重心位置的方法：
悬挂法：这是确定形状不规则的匀质薄板的重心位置的一种常用方法。具体操作是将形状不规则的匀质薄板在其边缘处某点用细线悬挂,待其静止后,沿悬挂线画出直线。重复此步骤,至少需要两次,两线交点即为重心。
支撑法：用支点支撑薄板,移动支点位置,当薄板保持平衡时,支点处即为重心。
实验验证：用悬挂法确定重心后,在薄板上固定一条细线,让其穿过重心$C$点。在重心$C$处提拉细线,验证薄板是否可以水平平衡。
问题 1：请画出图 Z1 - 2 中等边三角形的匀质薄板的重心位置。

画出等边三角形ABC的两条中线（如AD、BE），其交点O即为重心位置。
问题 2：如图 Z1 - 3,一块匀质薄板由两个正方形组成,边长分别为 4 cm 和 2 cm。请确定该薄板的重心位置。

1. 分解图形：两个正方形，边长分别为4cm（记为图形①）和2cm（记为图形②）。
2. 建立坐标系：以图形①左下角顶点为原点(0,0)，则图形①的中心坐标为(2,2)，面积$A_1=4×4=16\,cm^2$；图形②右侧与图形①右侧对齐，底边与图形①底边对齐，中心坐标为(5,1)，面积$A_2=2×2=4\,cm^2$。
3. 计算重心坐标：
$ X=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}=\frac{2×16+5×4}{16+4}=\frac{32+20}{20}=\frac{52}{20}=2.6\,cm $
$ Y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}=\frac{2×16+1×4}{16+4}=\frac{32+4}{20}=\frac{36}{20}=1.8\,cm $
重心坐标为$(2.6\,cm,1.8\,cm)$。
问题 3：图 Z1 - 4 是确定一块形状不规则的匀质薄板的重心位置的过程。

(1) 采用的是悬挂法；
(2) 该薄板的重心是点O；
(3) 若再增加一条悬垂线$EF$,则$EF是否经过点O$？是。(填“是”或“否”)

答案： 问题1：
画出等边三角形ABC的两条中线（如AD、BE），其交点O即为重心位置。
问题2：
1. 分解图形：两个正方形，边长分别为4cm（记为图形①）和2cm（记为图形②）。
2. 建立坐标系：以图形①左下角顶点为原点(0,0)，则图形①的中心坐标为(2,2)，面积$A_1=4×4=16\,cm^2$；图形②右侧与图形①右侧对齐，底边与图形①底边对齐，中心坐标为(5,1)，面积$A_2=2×2=4\,cm^2$。
3. 计算重心坐标：
$ X=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}=\frac{2×16+5×4}{16+4}=\frac{32+20}{20}=\frac{52}{20}=2.6\,cm $
$ Y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}=\frac{2×16+1×4}{16+4}=\frac{32+4}{20}=\frac{36}{20}=1.8\,cm $
重心坐标为$(2.6\,cm,1.8\,cm)$。
问题3：
(1) 悬挂
(2) 点O
(3) 是