《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

6. 如图 15.1 - 6,$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 关于直线 $MN$ 对称,$BC$ 与 $DE$ 的交点 $F$ 在直线 $MN$ 上,连接 $EC$。若 $ED = 4\ cm$,$FC = 1\ cm$,$\angle BAC = 76^{\circ}$,$\angle EAC = 58^{\circ}$。
(1) 求 $BF$ 的长；
(2) 求 $\angle CAD$ 的度数；
(3) 线段 $EC$ 与直线 $MN$ 有什么位置关系？

答案： 1. （1）
解：
因为$\triangle ABC$与$\triangle ADE$关于直线$MN$对称，根据轴对称的性质，对应线段相等，所以$BC = DE$。
已知$ED = 4cm$，$FC = 1cm$，又因为$BC=BF + FC$，$DE = 4cm$，所以$BF=BC - FC$，而$BC = DE$，则$BF=DE - FC$。
把$ED = 4cm$，$FC = 1cm$代入可得$BF = 4 - 1=3cm$。
2. （2）
解：
因为$\triangle ABC$与$\triangle ADE$关于直线$MN$对称，所以$\angle BAC=\angle DAE = 76^{\circ}$。
已知$\angle EAC = 58^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle DAE-\angle EAC$。
把$\angle DAE = 76^{\circ}$，$\angle EAC = 58^{\circ}$代入可得$\angle CAD=76^{\circ}-58^{\circ}=18^{\circ}$。
3. （3）
解：
因为$\triangle ABC$与$\triangle ADE$关于直线$MN$对称，$E$与$C$是对应点。
根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
所以直线$MN$是线段$EC$的垂直平分线，即$MN\perp EC$。
综上，（1）$BF$的长为$3cm$；（2）$\angle CAD$的度数为$18^{\circ}$；（3）$MN\perp EC$。

*7. 如图 15.1 - 7,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 12\ cm$,$AC = 6\ cm$,$BC = 10\ cm$,点 $D$,$E$ 分别在 $AC$,$AB$ 上,且 $\triangle BCD$ 和 $\triangle BED$ 关于直线 $BD$ 对称。
(1) 求 $AE$ 的长；
(2) 求 $\triangle ADE$ 的周长。

答案： 1. （1）
因为$\triangle BCD$和$\triangle BED$关于直线$BD$对称，所以$BE = BC$。
已知$BC = 10cm$，$AB = 12cm$，根据$AE=AB - BE$，可得$AE = AB - BC$。
把$AB = 12cm$，$BC = 10cm$代入$AE = AB - BC$，得$AE=12 - 10=2cm$。
2. （2）
因为$\triangle BCD$和$\triangle BED$关于直线$BD$对称，所以$DE = DC$。
那么$\triangle ADE$的周长$C_{\triangle ADE}=AD + DE+AE$。
又因为$DE = DC$，所以$C_{\triangle ADE}=AD + DC+AE$。
根据$AD + DC = AC$，已知$AC = 6cm$，$AE = 2cm$。
所以$C_{\triangle ADE}=AC + AE$。
把$AC = 6cm$，$AE = 2cm$代入$C_{\triangle ADE}=AC + AE$，得$C_{\triangle ADE}=6 + 2=8cm$。
综上，（1）$AE$的长为$2cm$；（2）$\triangle ADE$的周长为$8cm$。