《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

3. 分解因式：(1)$25a^{2}b^{4}-9=$$(5ab^{2}+3)(5ab^{2}-3)$；(2)$-n^{2}+64m^{2}=$$(8m+n)(8m-n)$。

答案：
(1)$(5ab^{2}+3)(5ab^{2}-3)$
(2)$(8m+n)(8m-n)$

4. 设$a= 73×1412$,$b= 932^{2}-480^{2}$,$c= 515^{2}-191^{2}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系是：$a ＜ c ＜ b$。

答案： $a ＜ c ＜ b$

5. 若$a$,$b$,$c$是三角形的三边长,则$(a-b)^{2}-c^{2}$ ＜0。(填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＜

6. 把下列多项式分解因式：
(1)$\frac{1}{25}m^{2}-16$；
(2)$(a+b)^{2}-4a^{2}$；
(3)$a^{3}b-ab$；
(4)$a^{2}(x-y)+b^{2}(y-x)$。

答案：
(1)$\left(\dfrac{1}{5}m+4\right)\left(\dfrac{1}{5}m-4\right)$
(2)$(3a+b)(b-a)$
(3)$ab(a+1)(a-1)$
(4)$(x-y)(a+b)(a-b)$

7. 已知$x^{2}-4y^{2}= 20$,$x+2y= 5$,求$x$,$y$的值。

答案： $x=\dfrac{9}{2},y=\dfrac{1}{4}$

*8. 已知整式$A= 3m+1$,$B= 3m-1$,$m$为任意有理数。
(1)$A\cdot B+1$的值可能为负数吗？请说明理由。
(2)请你通过计算说明：当$m$是正整数时,$A^{2}-B^{2}的值一定能被12$整除。

答案： $(1)$判断$A\cdot B + 1$的值是否可能为负数
解：
已知$A = 3m + 1$，$B = 3m - 1$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，则$A\cdot B=(3m + 1)(3m - 1)$。
所以$A\cdot B+1=(3m + 1)(3m - 1)+1$
$=(3m)^2-1^2 + 1$（利用平方差公式展开）
$=9m^2-1 + 1$
$=9m^2$。
因为$m$为任意有理数，根据平方的非负性，$m^2\geqslant0$，那么$9m^2\geqslant0$。
所以$A\cdot B + 1$的值不可能为负数。
$(2)$证明当$m$是正整数时，$A^{2}-B^{2}$的值一定能被$12$整除
解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$A^{2}-B^{2}$，其中$A = 3m + 1$，$B = 3m - 1$，则：
$A^{2}-B^{2}=(A + B)(A - B)$
$=[(3m + 1)+(3m - 1)][(3m + 1)-(3m - 1)]$（代入$A$、$B$的值）
$=(3m + 1+3m - 1)(3m + 1-3m + 1)$（去括号）
$=(6m)×2$（合并同类项）
$=12m$。
因为$m$是正整数，所以$12m÷12 = m$，商是整数。
所以当$m$是正整数时，$A^{2}-B^{2}$的值一定能被$12$整除。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{A\cdot B + 1}$的值不可能为负数；$(2)$证明过程如上述。