《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

如图 15.3 - 7,$\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 均是边长为 $2$ 的等边三角形,$E$,$F$ 分别是 $AD$,$CD$ 上的两个动点,且满足 $AE + CF = 2$。
(1) 求证：$\triangle BDE\cong\triangle BCF$；

(2) 判断 $\triangle BEF$ 的形状,并说明理由。
【思路分析】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质。(1) 利用等边三角形的性质得到 $\angle BDE= \angle BCF = 60^{\circ}$,$BD = BC$,再证明 $DE = CF$,进而可得答案；(2) 由 (1) 知 $\triangle BDE\cong\triangle BCF$,根据全等三角形对应角相等、对应边相等得到 $\angle DBE= \angle CBF$,$BE = BF$,再证明 $\angle EBF = 60^{\circ}$,即可得出结论。

答案： 【解答】
(1) $\because\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 都为等边三角形,
$\therefore\angle BDE= \angle BCF = 60^{\circ}$,$BD = BC$。
$\because AE + DE = AD = 2$,$AE + CF = 2$,$\therefore DE = CF$。
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle BCF$ 中,$\begin{cases}BD = BC,\\\angle BDE= \angle BCF,\\DE = CF,\end{cases} $ $\therefore\triangle BDE\cong\triangle BCF(SAS)$。
(2) $\triangle BEF$ 是等边三角形。理由如下：由
(1) 知 $\triangle BDE\cong\triangle BCF$,$\therefore\angle DBE= \angle CBF$,$BE = BF$。$\because\angle DBC= \angle DBF+\angle CBF = 60^{\circ}$,$\therefore\angle DBF+\angle DBE = 60^{\circ}$,即 $\angle EBF = 60^{\circ}$。$\therefore\triangle BEF$ 为等边三角形。

1. 下列条件不能得到等边三角形的是(A)。
A.有一个内角是 $60^{\circ}$ 的锐角三角形
B.有一个内角是 $60^{\circ}$ 的等腰三角形
C.顶角和底角相等的等腰三角形
D.腰和底边相等的等腰三角形

答案： A

2. 如图 15.3 - 8,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,尺规作图：①分别以 $B$,$C$ 为圆心,$BC$ 长为半径作弧,两弧交于点 $D$；②作射线 $AD$,连接 $BD$,$CD$。则下列结论错误的是(D)。

A.$\angle BAD= \angle CAD$
B.$\triangle BCD$ 是等边三角形
C.$AD$ 垂直平分 $BC$
D.$S_{四边形ABDC}= AD\cdot BC$

答案： D