《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 计算：$\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=$2.

答案： 【解析】：
题目考查了分式的加法运算，特别是同分母分式的加法。
根据同分母分式的加法法则，分母保持不变，分子进行相加。
【答案】：
解：原式
$= \frac{2x + 2}{x + 1}$
$= \frac{2(x + 1)}{x + 1}$
$= 2$
故答案为：$2$。

2. 计算：$\frac{b^2}{2a-b}+\frac{4a^2}{b-2a}=$$-2a - b$.

答案： 解：$\frac{b^2}{2a - b} + \frac{4a^2}{b - 2a}$
$=\frac{b^2}{2a - b} - \frac{4a^2}{2a - b}$
$=\frac{b^2 - 4a^2}{2a - b}$
$=\frac{(b + 2a)(b - 2a)}{2a - b}$
$=\frac{-(b + 2a)(2a - b)}{2a - b}$
$=-(b + 2a)$
$=-2a - b$
$-2a - b$

3. 计算：$\frac{a^2}{a-1}-a+1=$$\frac{2a - 1}{a-1}$.

答案： 解：$\frac{a^2}{a-1}-a+1$
$=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a-1)(a-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2-(a^2-2a+1)}{a-1}$
$=\frac{a^2 - a^2 + 2a - 1}{a-1}$
$=\frac{2a - 1}{a-1}$
$\frac{2a - 1}{a-1}$

4. 已知$a,b$为实数,且$ab= 1,a\neq1$.设$M= \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1},N= \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$,则$M,N$的大小关系是$M = N$.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的加法与减法运算，以及代数式的化简和比较大小。
首先，我们计算$M$的值：
$M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$
为了将两个分数相加，我们需要找到它们的公共分母，即$(a+1)(b+1)$：
$M = \frac{a(b + 1) + b(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)}$
$= \frac{ab + a + ab + b}{ab + a + b + 1}$
由于$ab = 1$，代入上式得：
$M = \frac{2ab + a + b}{ab + a + b + 1}$
$= \frac{2 + a + b}{2 + a + b}$
$= 1$
接着，我们计算$N$的值：
$N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$
同样，为了将两个分数相加，我们需要找到它们的公共分母，即$(a+1)(b+1)$：
$N = \frac{b + 1 + a + 1}{(a + 1)(b + 1)}$
$= \frac{a + b + 2}{ab + a + b + 1}$
由于$ab = 1$，代入上式得：
$N = \frac{2 + a + b}{2 + a + b}$
$= 1$
最后，我们比较$M$和$N$的大小：
由于$M = 1$且$N = 1$，所以$M = N$。
【答案】：
$M = N$

5. 计算：
(1)$\frac{a-2}{a+1}-\frac{2a-3}{a+1}$；
(2)$\frac{x}{x^2-4}-\frac{1}{2x-4}$.

答案：
(1)解：原式$=\frac{(a-2)-(2a-3)}{a+1}$
$=\frac{a-2-2a+3}{a+1}$
$=\frac{-a+1}{a+1}$
$=\frac{-(a-1)}{a+1}$
(2)解：原式$=\frac{x}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{2(x-2)}$
$=\frac{2x}{2(x+2)(x-2)}-\frac{x+2}{2(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-x-2}{2(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{2(x+2)(x-2)}$
$=\frac{1}{2(x+2)}$

6. 某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式：
①$1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}$；②$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}= \frac{1}{6}$；③$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}= \frac{1}{12}$；④$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}= \frac{1}{20}$；….
仔细观察、思考,解答下列问题：
(1)按照以上等式的规律,请你写出第5个等式：$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并说明等式成立；
(3)在第(2)问的前提下,请用你发现的规律,化简式子：$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+…+\frac{1}{(x+2024)(x+2025)}$.

(2)$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$，证明如下：
等式左侧=$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
=$\frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)}$
=$\frac{n+1-n}{n(n+1)}$
=$\frac{1}{n(n+1)}$
=等式右侧
所以，猜想成立。
(3)$\frac{2025}{x(x+2025)}$

答案： 【解析】：
(1)观察给出的等式，可以发现每个等式的左侧是两个连续整数的倒数之差，右侧是这两个整数的乘积的倒数。因此，第5个等式的左侧应该是$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，右侧应该是$\frac{1}{5 × 6}=\frac{1}{30}$。所以，第5个等式为：$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$。
(2)对于第$n$个等式，可以猜想其形式为：$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$。
证明如下：
等式左侧=$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
=$\frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)}$
=$\frac{n+1-n}{n(n+1)}$
=$\frac{1}{n(n+1)}$
=等式右侧
所以，猜想成立。
(3)对于给定的式子，可以利用
(2)中发现的规律进行化简：
原式=$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \ldots + \frac{1}{x+2024} - \frac{1}{x+2025}$
观察上式，可以发现从第二项开始，每两项都会相消，最终只剩下第一项和最后一项的负值。
所以，原式=$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2025}$
=$\frac{x+2025-x}{x(x+2025)}$
=$\frac{2025}{x(x+2025)}$
【答案】：
(1)$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$
(2)$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$，证明见解析
(3)$\frac{2025}{x(x+2025)}$