《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,$AB= ED$,$AC= EC$,$C是BD$的中点. 若$\angle B= \angle ACE= 120^\circ$,则$\angle E= $30°.

答案： 解：
∵C是BD的中点，
∴BC=DC。
在△ABC和△EDC中，
AB=ED，
AC=EC，
BC=DC，
∴△ABC≌△EDC（SSS）。
∴∠ACB=∠ECD，∠B=∠D=120°。
∵∠ACE=120°，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，
∴∠ACB+∠ECD=180°-120°=60°。
又
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB=∠ECD=30°。
在△EDC中，∠E+∠D+∠ECD=180°，
∴∠E=180°-∠D-∠ECD=180°-120°-30°=30°。
30°

2. 如图所示,$BE\perp AC$,$CF\perp AB$,垂足分别是$E$,$F$,$BE与CF相交于点O$. 若$BE= CF$,则图中全等三角形有3对.

答案： 解：
1. 在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle ACF$中，
$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$，
$\angle BAE = \angle CAF$（公共角），
$BE = CF$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACF (AAS)$，
$\therefore AB = AC$，$AE = AF$。
2. $\because AB = AC$，
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$。
3. $\because AB = AC$，$AF = AE$，
$\therefore BF = CE$。
4. 在$\triangle BOF$和$\triangle COE$中，
$\angle BFO = \angle CEO = 90^\circ$，
$\angle BOF = \angle COE$（对顶角），
$BF = CE$，
$\therefore \triangle BOF \cong \triangle COE (AAS)$，
$\therefore BO = CO$，$FO = EO$。
5. 在$\triangle BCF$和$\triangle CBE$中，
$CF = BE$，
$BC = CB$（公共边），
$BF = CE$，
$\therefore \triangle BCF \cong \triangle CBE (SSS)$。
综上，全等三角形有3对。
答案：3

3. 如图所示,下列各组条件中,能得到$\triangle ABC\cong\triangle BAD$的有②③④⑤(填序号).
①$BC= AD$,$\angle CAB= \angle DBA$；②$AC= BD$,$\angle CAB= \angle DBA$；③$BC= AD$,$AC= BD$；④$BC= AD$,$\angle CBA= \angle DAB$；⑤$\angle C= \angle D$,$\angle CBA= \angle DAB$.

答案： ②③④⑤

4. 如图所示,已知点$B$,$C$,$F$,$E$在一条直线上,$\angle ACB= \angle DFE$,$\angle A= \angle D$,要使$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,还需要添加一个条件,这个条件可以是$AC=DF$(只需写出一个).

答案： 解：添加条件：$AC=DF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\because \angle A = \angle D$，
$AC = DF$，
$\angle ACB = \angle DFE$，
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF(ASA)$。
故答案为：$AC=DF$（答案不唯一）

5. 如图所示,已知$AD\perp DE于点D$,$BE\perp DE于点E$,$AC$,$BC分别平分\angle BAD和\angle ABE$,点$C在线段DE$上. 若$AD= 5$,$BE= 2$,则$AB$的长是______7.

答案： 【解析】：本题可根据角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质来求解$AB$的长。
已知$AD\perp DE$，$BE\perp DE$，所以$\angle ADC = \angle BEC = 90^{\circ}$。
因为$AC$平分$\angle BAD$，$BC$平分$\angle ABE$，根据角平分线的性质可知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，我们可以通过构造全等三角形来求解。
过点$C$作$CF\perp AB$，交$AB$于点$F$。
由于$AC$平分$\angle BAD$，$AD\perp DE$，$CF\perp AB$，根据角平分线的性质可得$CF = CD$，$AD = AF = 5$。
同理，因为$BC$平分$\angle ABE$，$BE\perp DE$，$CF\perp AB$，所以$CF = CE$，$BE = BF = 2$。
此时可发现$\triangle ADC\cong\triangle AFC(HL)$（因为$AC$为公共边，$AD = AF$，$\angle ADC = \angle AFC = 90^{\circ}$），$\triangle BEC\cong\triangle BFC(HL)$（因为$BC$为公共边，$BE = BF$，$\angle BEC = \angle BFC = 90^{\circ}$）。
那么$AB = AF + BF$，将$AF = 5$，$BF = 2$代入可得$AB$的长。
【答案】：解：过点$C$作$CF\perp AB$，交$AB$于点$F$。
因为$AC$平分$\angle BAD$，$AD\perp DE$，$CF\perp AB$，所以$CF = CD$，$AD = AF = 5$。
又因为$BC$平分$\angle ABE$，$BE\perp DE$，$CF\perp AB$，所以$CF = CE$，$BE = BF = 2$。
所以$AB = AF + BF = 5 + 2 = 7$。
故答案为$7$。

6. 如图所示,$AD// BC$,$CP和DP分别平分\angle BCD和\angle ADC$,$AB过点P$,且与$AD$垂直,垂足为$A$,交$BC于点B$. 若$AB= 10$,则点$P到DC$的距离是______.

5

答案： 解：过点P作PE⊥DC于点E。
∵AD//BC，AB⊥AD，
∴AB⊥BC，即PA⊥AD，PB⊥BC。
∵DP平分∠ADC，PE⊥DC，PA⊥AD，
∴PA=PE。
∵CP平分∠BCD，PE⊥DC，PB⊥BC，
∴PB=PE。
∴PA=PB=PE。
∵AB=PA+PB=10，
∴PA=PB=5，
∴PE=5，即点P到DC的距离是5。
5

7. 如图所示,在$\triangle ABC与\triangle ADE$中,$\angle BAC= \angle DAE$,$AB= AC$,$AD= AE$,点$C$,$D$,$E$在一条直线上,连接$BD$. 若$\angle ABC= 45^\circ$,则$\angle ACE+\angle DBC= $45$^\circ$.

答案： 解：
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=45°．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle BAD=\angle CAE\\ AD=AE\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°．
45

8. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD$是中线,$CE\perp AD于点E$,$BF\perp AD交AD的延长线于点F$. 求证$BF= CE$.

答案： 【解析】：本题可根据全等三角形的判定定理来证明$\triangle BFD$和$\triangle CED$全等，进而得出$BF = CE$。
已知$AD$是$\triangle ABC$的中线，根据中线的定义可知$BD = CD$；
又已知$CE\perp AD$，$BF\perp AD$，所以$\angle BFD=\angle CED = 90^{\circ}$；
在$\triangle BFD$和$\triangle CED$中，$\angle BFD=\angle CED$，$\angle BDF=\angle CDE$（对顶角相等），$BD = CD$，
根据全等三角形的判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可以得出$\triangle BFD\cong\triangle CED$，
再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等），可得$BF = CE$。
【答案】：
证明：
∵$AD$是$\triangle ABC$的中线，
∴$BD = CD$，
∵$CE\perp AD$，$BF\perp AD$，
∴$\angle BFD=\angle CED = 90^{\circ}$，
在$\triangle BFD$和$\triangle CED$中，
$\begin{cases}\angle BFD=\angle CED\\\angle BDF=\angle CDE\\BD = CD\end{cases}$
∴$\triangle BFD\cong\triangle CED(AAS)$，
∴$BF = CE$。