《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

8. 如图所示,在△ABC中,∠B= ∠ACB,AD⊥BC,CE⊥AB,AE= CE. 求证：
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF= 2CD.

答案： 【解析】：
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质。
对于（1），需要证明$\bigtriangleup AEF\cong\bigtriangleup CEB$，可以通过寻找两三角形的对应角和对应边相等来证明。
对于（2），需要证明$AF = 2CD$，这可以通过证明$AF$与$BC$上的某条线段相等，并且这条线段是$CD$的两倍来实现。
【答案】：
证明：
(1)
∵$AD\perp BC$，$CE\perp AB$，
∴$\angle AEF = \angle CEB = 90^\circ$（垂直的定义）。
∵$\angle B = \angle ACB$（题目已知），
在$Rt\bigtriangleup ADB$中，$\angle B + \angle BAD = 90^\circ$，
在$Rt\bigtriangleup BEC$中，$\angle B + \angle BCE = 90^\circ$，
∴$\angle BAD = \angle BCE$（同角的余角相等）。
∵$AE = CE$（题目已知），
在$\bigtriangleup AEF$和$\bigtriangleup CEB$中，
$\left\{\begin{matrix}\angle AEF = \angle CEB,\\AE = CE,\\\angle EAF = \angle BCE.\end{matrix}\right.$
∴$\bigtriangleup AEF\cong\bigtriangleup CEB$（$ASA$）。
(2)
∵$\angle B = \angle ACB$（题目已知），
∴$AB = AC$（等角对等边）。
∵$AD\perp BC$，
∴$BD = CD$（等腰三角形三线合一）。
∵$\bigtriangleup AEF\cong\bigtriangleup CEB$（已证），
∴$AF = BC$（全等三角形的对应边相等）。
∵$BC = 2CD$（由$BD = CD$得出），
∴$AF = 2CD$（等量代换）。

9. 如图所示,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E. 求证CE= $\frac{1}{2}BD$.

答案： 【解析】：本题可通过作辅助线，利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形三线合一的性质来证明$CE = \frac{1}{2}BD$。考查的知识点主要有全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等。
延长$BA$、$CE$交于点$F$，先证明$\triangle BDF\cong\triangle BDC$得到$BD = BF$，再证明$\triangle ACF$是等腰直角三角形，最后根据等腰三角形三线合一的性质证明$CE=\frac{1}{2}CF$，进而得出$CE = \frac{1}{2}BD$。
【答案】：证明：
延长$BA$、$CE$交于点$F$。
∵$BE\perp CF$，$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle FBE=\angle CBE$，$\angle BEF=\angle BEC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BEF$和$\triangle BEC$中，
$\begin{cases}\angle FBE=\angle CBE \\BE = BE\\\angle BEF=\angle BEC\end{cases}$
∴$\triangle BEF\cong\triangle BEC(ASA)$，
∴$EF = EC$，即$CF = 2CE$。
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，$CE\perp BD$，
∴$\angle ABD+\angle F=\angle ACF+\angle F = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABD=\angle ACF$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACF$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAF = 90^{\circ}\\\angle ABD=\angle ACF\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle ACF(ASA)$，
∴$BD = CF$。
∵$CF = 2CE$，
∴$CE=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}BD$。