《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 计算：$(2c)^4 \cdot \left(-\frac{ab^2}{2c}\right)^2 = $$4a^2b^4c^2$；$\left(-\frac{a^2}{b}\right)^2 \cdot \left(-\frac{b^2}{a}\right) \cdot \left(\frac{1}{ab}\right)^4 = $$-\frac{1}{ab^4}$.

答案： 解：$(2c)^4 \cdot \left(-\frac{ab^2}{2c}\right)^2$
$=16c^4 \cdot \frac{a^2b^4}{4c^2}$
$=4a^2b^4c^2$
$\left(-\frac{a^2}{b}\right)^2 \cdot \left(-\frac{b^2}{a}\right) \cdot \left(\frac{1}{ab}\right)^4$
$=\frac{a^4}{b^2} \cdot \left(-\frac{b^2}{a}\right) \cdot \frac{1}{a^4b^4}$
$=-a^3 \cdot \frac{1}{a^4b^4}$
$=-\frac{1}{ab^4}$
$4a^2b^4c^2$；$-\frac{1}{ab^4}$

2. 化简：$\left(-\frac{3b}{2a^2}\right)^3 = $$-\frac{27b^3}{8a^6}$.

答案： 解：$\left(-\frac{3b}{2a^2}\right)^3$
$=(-1)^3 \cdot \frac{(3b)^3}{(2a^2)^3}$
$=-1 \cdot \frac{27b^3}{8a^6}$
$=-\frac{27b^3}{8a^6}$
$-\frac{27b^3}{8a^6}$

3. 计算：$\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \frac{x + 2y}{x^2 + xy} ÷ \frac{x^2 - 2xy}{x + y} = $1.

答案： 解：原式$=\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 2xy + y^2} × \frac{x^2 + xy}{x + 2y} × \frac{x + y}{x^2 - 2xy}$
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} × \frac{x(x+y)}{x+2y} × \frac{x + y}{x(x-2y)}$
$=\frac{(x+2y)(x-2y) \cdot x(x+y) \cdot (x + y)}{(x+y)^2 \cdot (x+2y) \cdot x(x-2y)}$
$=1$
故答案为：$1$

4. 已知 $x^m = 3$,$x^n = 6$,求 $x^{m - n}$,$x^{3m - 2n}$ 的值.

答案： 解：
因为 $x^m = 3$，$x^n = 6$，
所以 $x^{m - n} = x^m ÷ x^n = 3 ÷ 6 = \frac{1}{2}$；
$x^{3m - 2n} = x^{3m} ÷ x^{2n} = (x^m)^3 ÷ (x^n)^2 = 3^3 ÷ 6^2 = 27 ÷ 36 = \frac{3}{4}$。
答案：$x^{m - n} = \frac{1}{2}$，$x^{3m - 2n} = \frac{3}{4}$。

5. 已知一个长方体的体积为 $16a^2 - 4b^2$,它的长为 $2a + b$,高为 4,求它的宽.

答案： 解：长方体的体积 = 长×宽×高，所以宽 = 体积÷长÷高。
体积为 $16a^2 - 4b^2$，可因式分解为 $4(4a^2 - b^2) = 4(2a + b)(2a - b)$。
宽 = $[4(2a + b)(2a - b)]÷(2a + b)÷4$
先计算 $[4(2a + b)(2a - b)]÷(2a + b) = 4(2a - b)$
再计算 $4(2a - b)÷4 = 2a - b$
答：长方体的宽为 $2a - b$。

6. 化简：
(1)$\frac{a + 2}{a^2 - 2a + 1} \cdot \frac{a^2 - 4a + 4}{a + 1} ÷ \frac{a^2 - 4}{a^2 - 1}$；
(2)$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} ÷ \frac{2x^2 - 2}{4x^2 + 8x + 4} ÷ (x - 1)^2$.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的乘法与除法运算，以及因式分解和分式的约分。
(1) 对于第一个表达式，首先需要将各个多项式进行因式分解，然后进行约分和化简。
(2) 对于第二个表达式，同样需要将各个多项式进行因式分解，然后进行约分和化简，注意运算的顺序。
【答案】：
(1) 解：
原式
$= \frac{a + 2}{a^2 - 2a + 1} \cdot \frac{a^2 - 4a + 4}{a + 1} ÷ \frac{a^2 - 4}{a^2 - 1}$
$= \frac{a + 2}{(a - 1)^2} \cdot \frac{(a - 2)^2}{a + 1} \cdot \frac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{a - 2}{a - 1}$
(2) 解：
原式
$= \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} ÷ \frac{2x^2 - 2}{4x^2 + 8x + 4} ÷ (x - 1)^2$
$= \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2} \cdot \frac{4(x + 1)^2}{2(x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{1}{(x - 1)^2}$
$= \frac{2}{(x - 1)^2}$

7. 求使 $\frac{a^2 + ab}{b - ab} ÷ \frac{a + b}{2} \cdot \frac{b^2 - ab}{a^2 - ab}$ 的值为正整数的所有 $a$ 的整数值.

答案： 解：原式$=\frac{a(a + b)}{b(1 - a)} \cdot \frac{2}{a + b} \cdot \frac{-b(a - b)}{a(a - b)}$
$=\frac{a(a + b) \cdot 2 \cdot (-b)(a - b)}{b(1 - a)(a + b)a(a - b)}$
$=\frac{2}{a - 1}$
因为原式的值为正整数，所以$\frac{2}{a - 1}$为正整数。
则$a - 1$是$2$的正因数，$2$的正因数为$1$，$2$。
当$a - 1 = 1$时，$a = 2$；
当$a - 1 = 2$时，$a = 3$。
又因为分母不能为$0$，经检验$a = 2$，$a = 3$时分母均不为$0$。
所以$a$的整数值为$2$，$3$。

8. 化简 $\frac{m^2 - 1}{m^2 + 4m + 4} ÷ (m + 1) \cdot \frac{m^2 + 2m}{m - 1}$,化简后选取一个你认为合适的 $m$ 的值代入求值.

答案： 解：原式$=\frac{(m+1)(m-1)}{(m+2)^2} \cdot \frac{1}{m+1} \cdot \frac{m(m+2)}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1) \cdot 1 \cdot m(m+2)}{(m+2)^2(m+1)(m-1)}$
$=\frac{m}{m+2}$
要使原式有意义，则$m+2\neq0$，$m+1\neq0$，$m-1\neq0$，即$m\neq-2$，$m\neq-1$，$m\neq1$。
取$m=2$，代入得：$\frac{2}{2+2}=\frac{1}{2}$。
（注：$m$的值可取除$-2$，$-1$，$1$外的任意实数，此处仅以$m=2$为例）