《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

23. 【素养再现】
有这样一个问题：如图①所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90°$,$AC= BC$,直线$MN经过点C$,且$AD\perp MN于点D$,$BE\perp MN于点E$.求证$DE= AD+BE$.
解决这个问题的关键是根据题意证明$\triangle CDA\cong\triangle BEC$,得$AD= CE$,$CD= BE$,故$AD+BE= CE+CD= DE$.
【问题再思考】
(1)如图②所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90°$,$AC= BC$,$AD\perp MN于点D$,点$F在直线MN$上,连接$BF$,$\angle BFC= 135°$,求证$AD= DF$.
【类比分析】
(2)如图③所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90°$,$AD\perp MN于点D$,点$Q在直线MN$上,$CQ= AC$,点$P在AC$的延长线上,$BP= BQ$,且$BP\perp BQ$.若$AD= 5$,$CP= 3$,求$\triangle CQB$的面积.
【实际应用】
(3)如图④所示,某战区进行军演,营地和指挥部在海岸线$OC$上,早上8时,甲、乙两艘舰艇从营地$O$出发,甲舰艇以$70\ n mile/h$的速度向北航行,乙舰艇以$30\ n mile/h$的速度向西航行,10时分别到达海岛$A和补给点B$.从点$A观测点B和指挥部C$,测得$\angle BAC= 90°$,$AB= AC$.乙舰艇继续向西航行至海岛$D$,海岛$D到营地O的距离等于指挥部C到营地O$的距离,即$OD= OC$,求海岛$D到海岸线OC$的距离.

答案：
(1)证明：
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠BCF = 90°。
∵AD⊥MN，
则∠ACD + ∠CAD = 90°，
∴∠CAD = ∠BCF。
如图②所示，在AD上截取DE = DC，则△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CED = 45°，
则∠CEA = 135°，
∴∠BFC = ∠CEA。
在△AEC和△CFB中，
$\left\{ \begin{array}{l}{∠CEA = ∠BFC} \\ {∠CAE = ∠BCF} \\ {AC = CB} \end{array} \right.$，
∴△AEC≌△CFB(AAS)，
∴AE = CF，
则AD = AE + DE = CF + DC = DF。
(2)解：
如图③所示，过点Q作QG垂直于CB的延长线于点G，则∠ACD + ∠QCG = 90°，∠GBQ = 90°。
∵AD⊥MN，
则∠ADC = ∠G = 90°，
∴∠ACD + ∠CAD = 90°，
∴∠CAD = ∠QCG。
在△ACD和△CQG中，
$\left\{ \begin{array}{l}{∠CAD = ∠QCG} \\ {∠ADC = ∠G} \\ {AC = CQ} \end{array} \right.$，
∴△ACD≌△CQG(AAS)，
∴AD = CG = 5。
∵BP⊥BQ，
则∠GBQ + ∠CBP = 90°，
∴∠CBP = ∠GQB。
∵BP = BQ，
∴△CBP≌△GQB(AAS)，
∴CP = BG = 3，QG = BC = CG - BG = 2，
∴△CQB的面积为$\frac{1}{2}$BC·QG = $\frac{1}{2}$×2×2 = 2。
(3)解：
由题意，知OB = 2×30 = 60 n mile，OA = 2×70 = 140(n mile)。
如图④所示，过点C作CE⊥OA，则∠AEC = ∠BOA = 90°，∠ECA + ∠EAC = 90°。
∵∠BAC = 90°，
则∠BAO + ∠EAC = 90°，
∴∠BAO = ∠ECA。
∵AB = AC，
∴△AOB≌△CEA(AAS)，
∴OB = AE = 60 n mile，
则OE = OA - AE = 80(n mile)。
过点D作DF⊥OC，则∠DFO = ∠OEC = 90°，∠FDO + ∠DOF = 90°。
∵∠EOC + ∠DOF = 90°，
∴∠FDO = ∠EOC。
∵OD = OC，
∴△FDO≌△EOC(AAS)，
∴DF = OE = 80 n mile，
即海岛D到海岸线OC的距离是80 n mile。