《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

19. 如图所示,$\triangle ABC$为等边三角形,$D为BA$延长线上一点,连接$CD$,以$CD为一边作等边三角形CDE$,连接$AE$.
(1)求证$BD= AE$；
(2)判断$AE与BC$的位置关系,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 本题可通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质来证明$BD = AE$。
已知$\triangle ABC$和$\triangle CDE$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可知$BC = AC$，$CD = CE$，且$\angle BCA=\angle DCE = 60^{\circ}$。
通过角度的等量代换可得到$\angle BCD=\angle ACE$，进而利用$SAS$（边角边）判定定理证明$\triangle BCD\cong\triangle ACE$，根据全等三角形的对应边相等，即可得出$BD = AE$。
(2) 要判断$AE$与$BC$的位置关系，可通过证明$\angle EAC = 120^{\circ}$，再结合$\angle ACB = 60^{\circ}$，利用同旁内角互补，两直线平行来判定$AE// BC$。
【答案】：
(1) 证明：
∵$\triangle ABC$和$\triangle CDE$都是等边三角形，
∴$BC = AC$，$CD = CE$，$\angle BCA=\angle DCE = 60^{\circ}$。
∴$\angle BCA+\angle ACD=\angle DCE+\angle ACD$，即$\angle BCD=\angle ACE$。
在$\triangle BCD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}BC = AC\\\angle BCD=\angle ACE\\CD = CE\end{cases}$
∴$\triangle BCD\cong\triangle ACE(SAS)$。
∴$BD = AE$。
(2) $AE// BC$。
理由：
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$\angle BCA = 60^{\circ}$。
∵$\triangle BCD\cong\triangle ACE$，
∴$\angle EAC=\angle B = 60^{\circ}$。
∴$\angle EAC+\angle ACB = 60^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$。
∴$AE// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。

20. 如图所示,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别是$E,F$,连接$EF$,$EF与AD相交于点G$.
(1)求证$AD是EF$的垂直平分线；
(2)若$\triangle ABC的面积为8$,$AB= 3$,$DF= 2$,求$AC$的长.

答案： 【解析】：本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的判定和三角形面积的计算。
（1）证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质可知$DE = DF$。
在$Rt\triangle AED$和$Rt\triangle AFD$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD,\\DE = DF.\end{array}\right.$
根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”（$HL$定理），可得$Rt\triangle AED\cong Rt\triangle AFD$。
由全等三角形的性质可知$AE = AF$。
又因为$DE = DF$，根据“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，所以点$D$、$E$都在$EF$的垂直平分线上，即$AD$是$EF$的垂直平分线。
（2）已知$S_{\triangle ABC}=8$，$AB = 3$，$DF = 2$，因为$DE = DF = 2$（角平分线的性质）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$。
则$\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}× AC×2 = 8$，
先计算$\frac{1}{2}×3×2 = 3$，则$3 + AC = 8$，解得$AC = 5$。
【答案】：
(1)证明：
∵$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
∴$DE = DF$，
在$Rt\triangle AED$和$Rt\triangle AFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}AD = AD,\\DE = DF.\end{array}\right.$
∴$Rt\triangle AED\cong Rt\triangle AFD(HL)$，
∴$AE = AF$，
∵$DE = DF$，
∴$AD$是$EF$的垂直平分线。
(2)
∵$S_{\triangle ABC}=8$，$AB = 3$，$DF = 2$，$DE = DF = 2$，
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$，
∴$\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}× AC×2 = 8$，
∴$AC = 5$。