《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

10. 阅读下列材料：
已知$a^2 + a - 3 = 0$,求$a^2(a + 4)$的值.
解：$\because a^2 + a - 3 = 0$,
$\therefore a^2 = 3 - a$.
$\therefore a^2(a + 4) = (3 - a)(a + 4)$
$= -a^2 - a + 12$
$= -(3 - a) - a + 12$
$= -3 + a - a + 12$
$= 9$.
根据上述材料,解答下列问题：
(1)若$a^2 - a - 10 = 0$,则$2(a + 4) \cdot (a - 5)$的值为______-20；
(2)若$x^2 + 4x - 1 = 0$,求式子$2x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 8x + 1$的值.
解：∵$x^2 + 4x - 1 = 0$，
∴$x^2 = -4x + 1$，$x^2 + 4x = 1$。
$2x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 8x + 1$
$= 2x^2(x^2 + 4x) - 4x^2 - 8x + 1$
$= 2x^2 \cdot 1 - 4x^2 - 8x + 1$
$= 2x^2 - 4x^2 - 8x + 1$
$= -2x^2 - 8x + 1$
$= -2(x^2 + 4x) + 1$
$= -2 \cdot 1 + 1$
$= -1$。

答案：
(1)
解：
∵$a^2 - a - 10 = 0$，
∴$a^2 = a + 10$。
$2(a + 4)(a - 5) = 2(a^2 - a - 20)$
$= 2[(a + 10) - a - 20]$
$= 2(-10)$
$= -20$。
(2)
解：
∵$x^2 + 4x - 1 = 0$，
∴$x^2 = -4x + 1$，$x^2 + 4x = 1$。
$2x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 8x + 1$
$= 2x^2(x^2 + 4x) - 4x^2 - 8x + 1$
$= 2x^2 \cdot 1 - 4x^2 - 8x + 1$
$= 2x^2 - 4x^2 - 8x + 1$
$= -2x^2 - 8x + 1$
$= -2(x^2 + 4x) + 1$
$= -2 \cdot 1 + 1$
$= -1$。
答案：
(1) $-20$；
(2) $-1$。

11. 图①是由边长分别为a,b(a ＞ b)的两个正方形拼成的图形,其面积为$S_1$.图②是长、宽分别为a,b的长方形,其面积为$S_2$.

(1)若图③是由图①补成的大正方形,其面积为$S_3$,则$S_1$,$S_2$,$S_3$之间的数量关系是$ S_3 = S_1 + 2S_2 $.
(2)对于图③,通过两种不同方法计算它的面积,可以得到一个代数恒等式是$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
(3)在图①边长为a的正方形中放入两个边长为b的小正方形,得到图④所示的图形.若$S_1 = 16$,$S_2 = 5$,求图④中阴影部分的面积.
(3) 解：由题意得，$ S_1 = a^2 + b^2 = 16 $，$ S_2 = ab = 5 $。
图④中阴影部分面积为 $ 2ab - b^2 $（或通过割补法得 $ (a - b)^2 $），
$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab = 16 - 2×5 = 6 $。
答：图④中阴影部分的面积为 $ 6 $。

答案：
(1) $ S_3 = S_1 + 2S_2 $
(2) $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
(3) 解：由题意得，$ S_1 = a^2 + b^2 = 16 $，$ S_2 = ab = 5 $。
图④中阴影部分面积为 $ 2ab - b^2 $（或通过割补法得 $ (a - b)^2 $），
$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab = 16 - 2×5 = 6 $。
答：图④中阴影部分的面积为 $ 6 $。