《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

9. 如图所示,$\angle BAC= 90^\circ$,$AD是\angle BAC$内部的一条射线. 若$AB= AC$,$BE\perp AD于点E$,$CF\perp AD于点F$. 求证$AF= BE$.

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明两个三角形全等，从而得出对应边相等。
先根据垂直的性质得到$\angle AEB = \angle CFA = 90^{\circ}$，再结合已知条件$\angle BAC = 90^{\circ}$推出$\angle ABE=\angle CAF$，然后利用“角角边”定理证明$\triangle ABE\cong\triangle CAF$，最后根据全等三角形的性质得到$AF = BE$。
【答案】：证明：
∵$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，
∴$\angle AEB = \angle CFA = 90^{\circ}$。
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABE + \angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle CAF + \angle BAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABE=\angle CAF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中，
$\begin{cases}\angle AEB = \angle CFA\\\angle ABE=\angle CAF\\AB = AC\end{cases}$
∴$\triangle ABE\cong\triangle CAF(AAS)$。
∴$AF = BE$。

10. 如图所示,$\triangle ADC与\triangle EDG$是直角三角形,$AD= CD$,$DG= DE$,$\angle ADC= \angle GDE= 90^\circ$,连接$AG$,$CE交于点H$. 求证：
(1)$AG= CE$；
(2)$AG\perp CE$.

答案：
(1)证明：
∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，即∠ADG=∠CDE。
在△ADG和△CDE中，
AD=CD，
∠ADG=∠CDE，
DG=DE，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG=CE。
(2)证明：设AD与CH交于点O。
∵△ADG≌△CDE，
∴∠DAG=∠DCE。
∵∠AOH=∠COD，∠DCE+∠COD=90°，
∴∠DAG+∠AOH=90°，
∴∠AHO=90°，
∴AG⊥CE。

11. 如图所示,已知$AP// BC$,$\angle PAB的平分线与\angle CBA的平分线相交于点E$,过点$E的直线分别交AP$,$BC于点D$,$C$. 求证$AD+BC= AB$.

答案： 【解析】：本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质。
我们可以先根据平行线的性质和角平分线的定义，证明$\angle ABE=\angle AEB$，从而得出$AB=AE$，同理证明$DE=AD$，$CE=BC$，再根据$DE+CE=DC$，通过线段的等量代换证明$AD+BC=AB$。
【答案】：证明：
∵$AE$平分$\angle PAB$，$BE$平分$\angle CBA$（已知），
∴$\angle PAE=\angle EAB$，$\angle CBE=\angle ABE$（角平分线的定义）。
∵$AP// BC$（已知），
∴$\angle PAE=\angle AEB$（两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle EAB=\angle AEB$（等量代换）。
∴$AB=BE$（等角对等边）。
在$AB$上截取$AF=AD$，连接$EF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle AFE$中，
$\begin{cases}AD=AF,\\\angle PAE=\angle FAE,\\AE=AE.\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle AFE(SAS)$。
∴$\angle ADE=\angle AFE$（全等三角形的对应角相等）。
∵$AP// BC$，
∴$\angle ADE+\angle BCE=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$\angle AFE+\angle EFB=180^{\circ}$（邻补角的定义），
∴$\angle EFB=\angle BCE$（同角的补角相等）。
∵$BE$平分$\angle CBA$，
∴$\angle CBE=\angle FBE$。
在$\triangle BCE$和$\triangle BFE$中，
$\begin{cases}\angle EFB=\angle BCE,\\\angle CBE=\angle FBE,\\BE=BE.\end{cases}$
∴$\triangle BCE\cong\triangle BFE(AAS)$。
∴$BC=BF$（全等三角形的对应边相等）。
∵$AF+FB=AB$，
∴$AD+BC=AB$（等量代换）。