《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

11. 如图所示,已知AE⊥BC,AD平分∠BAE.若∠ADB= 110°,求∠B的大小.

答案： 【解析】：本题可根据三角形内角和定理以及角平分线的性质来求解$\angle B$的度数。
首先，在$\triangle ABD$中，已知$\angle ADB = 110^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可求出$\angle BAD+\angle B$的值。
然后，因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得到$\angle BAE+\angle B = 90^{\circ}$。
又因为$AD$平分$\angle BAE$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAE$。
最后，通过设未知数，利用上述关系列出方程求解$\angle B$。
【答案】：解：
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 110^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAD+\angle B=180^{\circ}-\angle ADB = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，在$\triangle ABE$中，$\angle BAE+\angle B = 180^{\circ}-\angle AEB = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
设$\angle B = x$，则$\angle BAE = 90^{\circ}-x$。
因为$AD$平分$\angle BAE$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAE=\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)$。
又因为$\angle BAD+\angle B = 70^{\circ}$，即$\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)+x = 70^{\circ}$。
去括号得：$45^{\circ}-\frac{1}{2}x+x = 70^{\circ}$。
移项得：$x-\frac{1}{2}x = 70^{\circ}-45^{\circ}$。
合并同类项得：$\frac{1}{2}x = 25^{\circ}$。
解得：$x = 50^{\circ}$。
所以$\angle B = 50^{\circ}$。

12. 如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,∠1= ∠2,∠3= ∠4,∠BAC= 72°.求∠DAC的大小.

答案： 解：设∠1=∠2=x，∠DAC=y。
∵∠BAC=72°，∠BAC=∠1+∠DAC，
∴x+y=72°。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=2x。
∵∠3=∠4，
∴∠4=2x。
在△ABC中，∠BAC+∠2+∠4=180°，
即72°+x+2x=180°，解得x=36°。
∵x+y=72°，
∴y=72°-x=72°-36°=36°。
即∠DAC的大小为36°。

13. 已知在△ABC中,∠BAC= 90°,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点F.求证∠AEF= ∠AFE.

答案： 【解析】：本题主要考查直角三角形的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质。在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle BAD+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle ABC = 90^{\circ}$，进而推出$\angle BAD=\angle C$。又因为$BE$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABE=\angle CBE$。$\angle AEF$是$\triangle BEC$的一个外角，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，可得$\angle AEF=\angle CBE+\angle C$。$\angle AFE$是$\triangle ABF$的一个外角，同理可得$\angle AFE=\angle ABE+\angle BAD$。由于$\angle ABE=\angle CBE$，$\angle BAD=\angle C$，所以$\angle AEF=\angle AFE$。
【答案】：
证明：
在$\triangle ABC$中，
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$，
∴$\angle BAD+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAD=\angle C$。
∵$BE$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABE=\angle CBE$。
∵$\angle AEF=\angle CBE+\angle C$，$\angle AFE=\angle ABE+\angle BAD$，
∴$\angle AEF=\angle AFE$。