《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是(B)
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等

答案： 【解析】：
本题考察的是直角三角形全等的判定条件。
选项A，斜边和一直角边对应相等，这符合直角三角形全等判定中的$HL$定理，即直角三角形中，若一直角边和斜边分别对应相等，则两直角三角形全等。
选项B，两个锐角对应相等，这并不能保证两个直角三角形全等，因为即使两个锐角相等，直角三角形的边长仍可能不同。
选项C，一锐角和斜边对应相等，这可以通过$AAS$定理（角-角-边定理）判定两个直角三角形全等，即已知两个角和一条边，可以判定两个三角形全等。
选项D，两条直角边对应相等，这符合三角形全等判定中的$SAS$定理（边-角-边定理），在直角三角形中，若两条直角边对应相等，且夹角为直角，则两直角三角形全等。
【答案】：
B

2. 如图所示,AB⊥BD,CD⊥BD,AD= BC,能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是______.

HL

答案： 证明：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=BC（已知），
BD=DB（公共边），
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．
HL

3. 如图所示,已知在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO= DO.要利用“HL”证明Rt△ABO≌Rt△DCO,需增加的条件是BO=CO.

答案： 【解析】：
本题考查的是利用“HL”（Hypotenuse-Leg）定理来证明两个直角三角形全等。
“HL”定理指出，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
分析题目给出的条件：
在$Rt\bigtriangleup ABO$和$Rt\bigtriangleup DCO$中，已知$AB\perp BO$，$CD\perp CO$，即两个三角形都是直角三角形。
同时，已知$AO=DO$，即两个三角形的斜边相等。
为了使用“HL”定理，还需要一个条件，即两个三角形的一条直角边也相等。
观察图形，可以发现直角边$BO$和$CO$是可能的添加条件，因为如果$BO=CO$，那么结合已知的斜边$AO=DO$，就可以利用“HL”定理证明$Rt\bigtriangleup ABO\cong Rt\bigtriangleup DCO$。
【答案】：
$BO=CO$

4. 如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB= AC,那么图中全等的直角三角形有哪些？

答案： 证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，∠ODB=∠OEC=90°。
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
∠AEB=∠ADC，
∠BAE=∠CAD（公共角），
AB=AC，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（AAS），
∴AE=AD，BE=CD。
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AD=AE，
AO=AO（公共边），
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴OD=OE。
在Rt△OBD和Rt△OCE中，
∠ODB=∠OEC，
OD=OE，
∠BOD=∠COE（对顶角相等），
∴Rt△OBD≌Rt△OCE（ASA）。
综上，全等的直角三角形有：Rt△ABE≌Rt△ACD，Rt△AOD≌Rt△AOE，Rt△OBD≌Rt△OCE。

5. 如图所示,AD是△ABC的中线,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE= CF.求证Rt△CDF≌Rt△BDE.

答案： 证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DFC=∠DEB=90°。
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=BD,\\ CF=BE,\end{array}\right.$
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）。

6. 如图所示,在△ABC中,CB⊥AB,∠BAC= 45°,F是AB延长线上一点,点E在BC上,且AE= CF.求证Rt△ABE≌Rt△CBF.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的证明，根据题目所给条件，找到两个三角形相等的边和角，再利用全等三角形的判定定理（$HL$）证明两个三角形全等。
证明两个直角三角形全等，已知$AE = CF$，这是一组直角边相等，又因为$\angle ABE=\angle CBF = 90^{\circ}$，且$AB = BC$（等腰直角三角形的性质，因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形），这是斜边相等，根据$HL$定理可证明两个三角形全等。
【答案】：证明：
∵$CB\perp AB$，
∴$\angle CBF=\angle ABE = 90^{\circ}$，
∵$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等腰直角三角形，
∴$AB = BC$，
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle CBF$中，
$\begin{cases}AE = CF\\AB = BC\end{cases}$
∴$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CBF(HL)$。