《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 分解因式：$x^2 - 3x= $$x(x - 3)$.

答案： 【解析】：
本题主要考查因式分解的基础操作，即提取公因式。观察多项式$x^2 - 3x$，我们可以看到两项都含有$x$，因此可以提取公因式$x$。
【答案】：
$x(x - 3)$

2. 一个多项式,把它分解因式后有一个因式为$(x - 1)$. 请你写出一个符合条件的多项式：$x^2 - 1$.

答案： 【解析】：
本题考查了多项式的因式分解，特别是关于如何构造一个多项式使其分解后包含一个特定的因式。
首先，知道多项式分解因式后包含因式$(x - 1)$，意味着当$x = 1$时，多项式的值为0（因为任何数乘以0都等于0）。
所以，为了构造一个符合条件的多项式，可以选择一个简单的多项式，如二次多项式，并确保当$x = 1$时，该多项式的值为0。
一个简单的方法是选择$(x - 1)$与另一个一次多项式相乘，例如$(x + 1)$或$(x + 任意常数)$，这样得到的多项式在$x = 1$时都会等于0。
以$(x - 1)(x + 1)$为例，展开得到$x^2 - 1$。
这是一个符合条件的多项式，因为当$x = 1$时，$x^2 - 1 = 0$。
当然，也可以选择其他的一次多项式与$(x - 1)$相乘，得到不同的符合条件的多项式。
【答案】：
答案不唯一，如$x^2 - 1$。

3. 把多项式$6x^3y^2 + 8x^2y^3$分解因式,应提取公因式$2x^2y^2$.

答案： 【解析】：
本题主要考查因式分解中的提取公因式法。
首先，观察多项式$6x^3y^2 + 8x^2y^3$的各项，找出它们的最大公因式。
在这个多项式中，$6x^3y^2$和$8x^2y^3$的最大公因式是$2x^2y^2$。
因此，我们可以将$2x^2y^2$提取出来，作为公因式。
【答案】：
$2x^2y^2$

4. 若多项式$4y^2 + my + 9$能用完全平方公式分解因式,则$m= $$\pm12$.

答案： 解：因为多项式$4y^2 + my + 9$能用完全平方公式分解因式，$4y^2=(2y)^2$，$9=3^2$，所以$4y^2 + my + 9=(2y\pm3)^2$。
展开$(2y + 3)^2=4y^2 + 12y + 9$，则$m=12$；
展开$(2y - 3)^2=4y^2 - 12y + 9$，则$m=-12$。
综上，$m=\pm12$。
答案：$\pm12$

5. 若$x - y = 4$,$xy = 6$,则$x^2y - xy^2= $24.

答案： 【解析】：
本题主要考察因式分解的应用以及代数式的代入计算。
首先，观察目标表达式$x^2y - xy^2$，可以发现其中包含了公因式$xy$，因此可以提取公因式进行因式分解，得到：
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
接着，根据题目给出的条件，有$x - y = 4$和$xy = 6$，
将这两个条件代入到因式分解后的表达式中，得到：
$xy(x - y) = 6 × 4 = 24$
所以，$x^2y - xy^2 = 24$。
【答案】：
24

6. 若对于非零的两个实数$a$,$b$,规定$a \otimes b = a^3 - ab$,则将$a \otimes 25$进行因式分解的结果为$a(a + 5)(a - 5)$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了因式分解的方法和代数式的运算。
首先，根据题目中给出的新定义运算规则，有 $a \otimes b = a^3 - ab$。
将 $b = 25$ 代入该规则，得到 $a \otimes 25 = a^3 - 25a$。
接下来，对 $a^3 - 25a$ 进行因式分解。
首先，可以提取公因式 $a$，得到 $a(a^2 - 25)$。
然后，注意到 $a^2 - 25$ 是一个差平方形式，它可以进一步分解为 $(a + 5)(a - 5)$。
所以，$a \otimes 25 = a(a + 5)(a - 5)$。
【答案】：
$a(a + 5)(a - 5)$

7. 若关于$x的多项式x^2 + mx - 3可以分解为(x + 3)(x - 1)$,则常数$m= $2.

答案： 解：因为多项式$x^2 + mx - 3$可以分解为$(x + 3)(x - 1)$，
将$(x + 3)(x - 1)$展开得：$x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3$，
所以$x^2 + mx - 3 = x^2 + 2x - 3$，
则$m = 2$。
$2$

8. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^\circ$,$AC = BC = a$,四边形$CDEF是边长为b$的正方形. 若$a + b = 10$,$ab = 12$,则阴影部分的面积为______.

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答案： 解：
∵ $\angle C=90^\circ$，$AC=BC=a$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a^2$。
∵ 四边形 $CDEF$ 是正方形，边长为 $b$，
∴ $CF=EF=b$，$\angle CFE=90^\circ$，
∴ $\triangle BEF$ 是等腰直角三角形（$\angle B=45^\circ$，$\angle BEF=45^\circ$），$BF=EF=b$，$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}b^2$。
阴影部分面积 $S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}(a^2-b^2)=\frac{1}{2}(a+b)(a-b)$。
已知 $a+b=10$，$ab=12$，
则 $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=10^2-4×12=100-48=52$，
但阴影面积表达式需用 $(a+b)(a-b)$，而 $(a-b)=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$（此处无需开方，直接代入 $\frac{1}{2}(a+b)(a-b)$ 无法直接计算，需调整思路）。
重新推导：$S_{阴影}=\frac{1}{2}(a^2-b^2)=\frac{1}{2}[(a+b)^2-2ab-2b^2]$ 错误，正确应为 $\frac{1}{2}(a^2-b^2)=\frac{1}{2}[(a+b)^2-2ab-2b^2]$ 不正确，正确方法是直接用 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，但已知 $a+b=10$，需计算 $a-b$ 代入。
由 $(a+b)=10$，$ab=12$，得 $a=10-b$，代入 $ab=12$ 得 $b(10-b)=12$，$b^2-10b+12=0$，解得 $b=\frac{10\pm\sqrt{52}}{2}=5\pm\sqrt{13}$，则 $a=5\mp\sqrt{13}$，$a-b=2\sqrt{13}$ 或 $-2\sqrt{13}$（取正值）。
∴ $S_{阴影}=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{13}=10\sqrt{13}$（错误，原思路错误，正确方法：阴影部分实际为梯形 $ADEF$，需重新分析图形）。
正确图形分析：
$AC=BC=a$，$CDEF$ 是正方形，$CD=DE=EF=CF=b$，
则 $AD=AC-CD=a-b$，$DE=b$，$AE=AD+DE=(a-b)+b=a$，
$\triangle ADE$ 中，$AD=a-b$，$DE=b$，$\angle ADE=90^\circ$，$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}(a-b)b$，
$\triangle EFB$ 中，$EF=b$，$BF=BC-CF=a-b$，$\angle EFB=90^\circ$，$S_{\triangle EFB}=\frac{1}{2}(a-b)b$，
阴影面积 $S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle EFB}-S_{正方形CDEF}$
$=\frac{1}{2}a^2-2×\frac{1}{2}(a-b)b-b^2=\frac{1}{2}a^2-(a-b)b-b^2=\frac{1}{2}a^2-ab+b^2-b^2=\frac{1}{2}a^2-ab$。
又 $\frac{1}{2}a^2-ab=\frac{1}{2}(a^2-2ab)=\frac{1}{2}[(a+b)^2-4ab]=\frac{1}{2}(100-48)=\frac{1}{2}×52=26$。
最终答案：$26$

9. 分解因式：
(1)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$；
(2)$x^2(m - n) - 4y^2(m - n)$；
(3)$x^2(x - 3) + 4(3 - x)$；
(4)$2x^2 - 8$.

答案：
(1)解：$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$
$=3a(x^2 - 2xy + y^2)$
$=3a(x - y)^2$
(2)解：$x^2(m - n) - 4y^2(m - n)$
$=(m - n)(x^2 - 4y^2)$
$=(m - n)(x + 2y)(x - 2y)$
(3)解：$x^2(x - 3) + 4(3 - x)$
$=x^2(x - 3) - 4(x - 3)$
$=(x - 3)(x^2 - 4)$
$=(x - 3)(x + 2)(x - 2)$
(4)解：$2x^2 - 8$
$=2(x^2 - 4)$
$=2(x + 2)(x - 2)$

10. 已知$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c$都是整数,且满足$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解：对原式进行配方：
$\begin{aligned}2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 &= 0\\2(a^2 - 2a) + (b^2 - 6b) &= -11\\2(a^2 - 2a + 1 - 1) + (b^2 - 6b + 9 - 9) &= -11\\2[(a - 1)^2 - 1] + [(b - 3)^2 - 9] &= -11\\2(a - 1)^2 - 2 + (b - 3)^2 - 9 &= -11\\2(a - 1)^2 + (b - 3)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数非负，所以$2(a - 1)^2 = 0$且$(b - 3)^2 = 0$，解得$a = 1$，$b = 3$。
根据三角形三边关系，$|a - b| ＜ c ＜ a + b$，即$|1 - 3| ＜ c ＜ 1 + 3$，$2 ＜ c ＜ 4$。
因为$c$为整数，所以$c = 3$。
$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 1 + 3 + 3 = 7$。
答：$\triangle ABC$的周长为$7$。