《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

5. 如图所示,点 P 为△ABC 的角平分线 BP 与 CP 的交点.求证$∠BPC= 90°+\frac{1}{2}∠BAC.$

答案： 【解析】：
本题可根据三角形内角和定理以及角平分线的性质来证明$\angle BPC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$。
首先，在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理可知$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$，由此可推出$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC$。
然后，因为$BP$、$CP$分别是$\angle ABC$、$\angle ACB$的角平分线，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，进而得到$\angle PBC + \angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$。
接着，在$\triangle BPC$中，根据三角形内角和定理$\angle BPC + \angle PBC + \angle PCB = 180^{\circ}$，将$\angle PBC + \angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$代入可得$\angle BPC = 180^{\circ} - (\angle PBC + \angle PCB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$。
最后，把$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC$代入上式，化简即可证明$\angle BPC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$。
【答案】：
证明：
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$，
所以$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC$。
因为$BP$、$CP$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$，
所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，
则$\angle PBC + \angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BAC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$。
在$\triangle BPC$中，$\angle BPC + \angle PBC + \angle PCB = 180^{\circ}$，
所以$\angle BPC = 180^{\circ} - (\angle PBC + \angle PCB)=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$。

6. 如图所示,AD 和 BF 分别是△ABC 的高和角平分线,AE 是边 BC 的中线.
(1)若△ABE 的面积为 6,求△ABC 的面积；
(2)若∠C= 70°,∠BAC= 60°,求∠DAC 和∠AFB 的大小.

答案：
(1)解：
∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∵△ABE的面积为6，
∴△AEC的面积=△ABE的面积=6，
∴△ABC的面积=△ABE的面积+△AEC的面积=6+6=12；
(2)解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°；
∵∠BAC=60°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°
∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF=25°，
∴∠AFB=180°-∠BAC-∠ABF=180°-60°-25°=95°。

7. 如图所示,D 是△ABC 中 BC 边上的一点,DE//AC 交 AB 于点 E,DF//AB 交 AC 于点 F,且∠ADE= ∠ADF.AD 是△ABC 的角平分线吗？试说明理由.

答案： 【解析】：本题可根据平行线的性质以及角平分线的定义来判断$AD$是否为$\triangle ABC$的角平分线。已知$DE// AC$，$DF// AB$，根据平行线的性质可得到角之间的等量关系，再结合$\angle ADE = \angle ADF$，进而推出$\angle BAD=\angle CAD$，从而判断$AD$是否为角平分线。
【答案】：
证明：
∵$DE// AC$（已知）
∴$\angle ADE=\angle CAD$（两直线平行，内错角相等）
∵$DF// AB$（已知）
∴$\angle ADF=\angle BAD$（两直线平行，内错角相等）
∵$\angle ADE = \angle ADF$（已知）
∴$\angle BAD=\angle CAD$（等量代换）
∴$AD$是$\triangle ABC$的角平分线（角平分线的定义）