《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在△ABC 中,若∠C= 90°,AC= 6,DC= 1/2AD,BD 平分∠ABC,则点 D 到 AB 的距离为2.

答案： 解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AC=6，DC=1/2AD，设DC=x，则AD=2x，
∴AC=DC+AD=x+2x=3x=6，解得x=2，即DC=2。
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=DC=2。
故点D到AB的距离为2。
答案：2

2. 如图所示,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E. 若 S△ABC= 32,DE= 4,AB= 9,则 AC 的长为______7.
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答案： 【解析】：本题主要考查角平分线的性质。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
因为$AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，
所以点$D$到$AC$的距离等于$DE$，
已知$DE = 4$，
所以点$D$到$AC$的距离也为$4$。
设点$D$到$AC$的垂线段为$DF$，则$DF = 4$，且$DF\perp AC$。
根据$S_{\bigtriangleup ABC}=S_{\bigtriangleup ABD}+S_{\bigtriangleup ACD}$，
$S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，
$S_{\bigtriangleup ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$，
已知$S_{\bigtriangleup ABC}=32$，$DE = 4$，$AB = 9$，
代入可得：
$32=\frac{1}{2}×9×4+\frac{1}{2}× AC×4$
$32 = 18 + 2AC$
$2AC=32 - 18$
$2AC = 14$
$AC = 7$
【答案】：$7$

3. 如图所示,在△ABC 中,AB= 6,AC= 9,BC= 11. 若根据图中的作图痕迹作射线 AP,交 BC 于点 D,点 E 在 AC 边上,AE= AB,连接 DE,则△CDE 的周长为______.
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14

答案： 解：由作图痕迹可知，AP是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=AB=6，AC=9，
∴EC=AC-AE=9-6=3，
在△ABD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AE\\ ∠BAD=∠EAD\\ AD=AD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴BD=ED，
∵BC=11，
∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+BD+EC=BC+EC=11+3=14.
故答案为：14.

4. 如图所示,若 OP 平分∠AOB,过点 P 作 OP 的垂线分别交 OA,OB 于点 C,D,则 PC 与 PD 相等吗？为什么？
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答案： 【解析】：本题考查角平分线的性质以及对全等三角形的判定，利用角平分线的性质得到相关角和线段相等，再通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，进而得出对应边相等。
【答案】：解：$PC$与$PD$相等。
理由如下：
∵$OP$平分$\angle AOB$，$PC\perp OP$，$PD\perp OP$，
在$\triangle POC$和$\triangle POD$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle AOP = \angle BOP,\\OP = OP,\\\angle OPC = \angle OPD = 90^{\circ}.\end{array}\right.$
∴$\triangle POC\cong\triangle POD(ASA)$。
∴$PC = PD$。

5. 如图所示,DE⊥AE 于点 E,DF⊥AC 于点 F,若 BD= CD,BE= CF. 求证：
(1) △BDE≌△CDF；
(2) AD 平分∠BAC.
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答案： 【解析】：
(1) 观察题目，我们可以发现这是一个关于三角形全等的问题。题目给出了$BD = CD$，$BE = CF$，并且$DE \perp AE$，$DF \perp AC$，这意味着我们可以利用HL（Hypotenuse-Leg）全等条件来证明$\triangle BDE \cong \triangle CDF$。
首先，由于$DE \perp AE$和$DF \perp AC$，我们知道$\angle BED = \angle CFD = 90^\circ$。
其次，题目给出了$BD = CD$和$BE = CF$。
因此，根据HL全等条件，我们可以得出$\triangle BDE \cong \triangle CDF$。
(2) 要证明$AD$平分$\angle BAC$，我们可以利用角平分线的性质，即角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
首先，由于我们已经证明了$\triangle BDE \cong \triangle CDF$，根据全等三角形的性质，我们知道$DE = DF$。
其次，由于$DE \perp AE$和$DF \perp AC$，点D到$\angle BAC$的两边AB和AC的距离分别是DE和DF，且$DE = DF$。
因此，根据角平分线的性质，我们可以得出$AD$平分$\angle BAC$。
【答案】：
(1) 证明：
∵ $DE \perp AE$，$DF \perp AC$，
∴ $\angle BED = \angle CFD = 90^\circ$，
在$Rt \triangle BDE$和$Rt \triangle CDF$中，
$BD = CD$，$BE = CF$，
∴ $Rt \triangle BDE \cong Rt \triangle CDF$ (HL)。
(2) 证明：
∵ $Rt \triangle BDE \cong Rt \triangle CDF$，
∴ $DE = DF$，
∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
∴ $AD$平分$\angle BAC$。