《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

23. 已知在等边三角形$ ABC $中,点$ E 在 AB $上,点$ D 在 CB $的延长线上,且$ ED = EC $.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图①所示,当点$ E 为 AB $的中点时,确定线段$ AE 与 DB $的大小关系,请你直接写出结论：$ AE $=$ DB $.(填“＞”“＜”或“=”)
(2)【特例启发,解答题目】
如图②所示,当点$ E 为 AB $边上任意一点时,请判断线段$ AE 与 DB $的大小关系,并说明理由.
(提示：过点$ E 作 EF // BC $,交$ AC 于点 F $)
解：AE = DB。理由如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，EF//BC，
∴△AEF是等边三角形，∠EFC = ∠ECB + ∠FEC = 120°，∠DBE = 120°，
∴AE = AF = EF，∠DBE = ∠EFC。
∵AB = AC，∴BE = CF。
∵ED = EC，∴∠D = ∠ECD。
∵EF//BC，∴∠FEC = ∠ECD，∴∠D = ∠FEC。
在△DBE和△EFC中，
∠D = ∠FEC，∠DBE = ∠EFC，BE = CF，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，∴DB = EF，∴AE = DB。
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形$ ABC $中,点$ E 在直线 AB $上,点$ D 在线段 CB $的延长线上,且$ ED = EC $.若$ \triangle ABC $的边长为1,$ AE = 2 $,则线段$ CD $的长为3.

答案：
(1) =
(2) 解：AE = DB。理由如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，EF//BC，
∴△AEF是等边三角形，∠EFC = ∠ECB + ∠FEC = 120°，∠DBE = 120°，
∴AE = AF = EF，∠DBE = ∠EFC。
∵AB = AC，
∴BE = CF。
∵ED = EC，
∴∠D = ∠ECD。
∵EF//BC，
∴∠FEC = ∠ECD，
∴∠D = ∠FEC。
在△DBE和△EFC中，
∠D = ∠FEC，∠DBE = ∠EFC，BE = CF，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB = EF，
∴AE = DB。
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