《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

11. 【综合与实践】
图①是一个长为$a$,宽为$b$的长方形. 现有相同的长方形若干个,进行如下操作：
(1) 用4个图①的小长方形不重叠地拼成一个如图②所示的正方形. 请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法,直接写出代数式$(a + b)^2$,$(a - b)^2$,$ab$之间的等量关系：$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$.
(2) 将6个图①的小长方形不重叠地拼成一个如图③所示的长方形,通过不同方法计算阴影部分的面积,你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立.

结论：$(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$
证明：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + 2b) &= 2a \cdot a + 2a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot 2b \\&= 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2 \\&= 2a^2 + 5ab + 2b^2\end{aligned}$

答案：
(1) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
(2) 结论：$(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$
证明：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + 2b) &= 2a \cdot a + 2a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot 2b \\&= 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2 \\&= 2a^2 + 5ab + 2b^2\end{aligned}$

12. 学习了公式法$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$后,老师向同学们提出了如下问题：
① 将多项式$x^2 + 4x + 3$分解因式；
解：$x^2 + 4x + 3 = x^2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2)^2 - 1 = (x + 2 + 1)(x + 2 - 1) = (x + 3)(x + 1)$.
② 求多项式$x^2 + 4x + 3$的最小值.
解：由①,得$x^2 + 4x + 3 = (x + 2)^2 - 1$,
∵$(x + 2)^2 \geq 0$,
∴$(x + 2)^2 - 1 \geq -1$,
∴当$x = -2$时,$x^2 + 4x + 3$的值最小,且最小值为$-1$.
请你运用上述方法解决下列问题：
(1) 将多项式$x^2 + 4x - 12$分解因式；
(2) 求多项式$m^2 + 8m - 9$的最小值.

答案：
(1)解：$x^2 + 4x - 12$
$=x^2 + 4x + 4 - 16$
$=(x + 2)^2 - 4^2$
$=(x + 2 + 4)(x + 2 - 4)$
$=(x + 6)(x - 2)$
(2)解：$m^2 + 8m - 9$
$=m^2 + 8m + 16 - 25$
$=(m + 4)^2 - 25$
∵$(m + 4)^2 \geq 0$
∴$(m + 4)^2 - 25 \geq -25$
∴当$m = -4$时，$m^2 + 8m - 9$的值最小，且最小值为$-25$