《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 根据分式的基本性质填空.
(1)$\frac{8a^{2}c}{12a^{2}b}= \frac{2c}{(3b)}$；
(2)$\frac{2x}{x+2}= \frac{(2x^{2})}{x^{2}+2x}(x \neq 0)$.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的基本性质，即分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零多项式，分式的值不变。
(1) 对于第一个问题，我们需要找到一个表达式填入分母，使得新的分式与原分式相等。
原分式为 $\frac{8a^{2}c}{12a^{2}b}$，我们可以将分子和分母都除以 $4a^{2}$，得到 $\frac{2c}{3b}$。
所以，填入分母的表达式应为 $3b$。
(2) 对于第二个问题，我们需要找到一个表达式填入分子，使得新的分式与原分式相等。
原分式为 $\frac{2x}{x+2}$，我们可以将分子和分母都乘以 $x$（注意 $x \neq 0$），得到 $\frac{2x^{2}}{x^{2}+2x}$。
所以，填入分子的表达式应为 $2x^{2}$。
【答案】：
(1) $3b$
(2) $2x^{2}$

2. 若分式$\frac{x}{y}$中的x,y的值都扩大为原来的3倍,则分式的值$\underline{\quad不变\quad}$.

答案： 解：将x，y的值都扩大为原来的3倍，新分式为$\frac{3x}{3y}$。
由分式基本性质，分子分母同乘3，分式值不变，即$\frac{3x}{3y}=\frac{x}{y}$。
结论：分式的值不变。

3. 若分式$\frac{x-y}{x^{2}-y^{2}}中的x,y$的值都扩大为原来的3倍,则分式的值$\underline{\quad\quad\quad\quad}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的基本性质以及代数式的代入和化简。
首先，将$x$和$y$都替换为$3x$和$3y$，得到新的分式为$\frac{3x-3y}{(3x)^{2}-(3y)^{2}}$。
然后，对新的分式进行化简，可以得到：
$\frac{3x-3y}{(3x)^{2}-(3y)^{2}} = \frac{3(x-y)}{9(x^{2}-y^{2})} = \frac{1}{3} × \frac{x-y}{x^{2}-y^{2}}$。
由此，可以得出，当$x$和$y$都扩大为原来的3倍时，分式的值将变为原来的$\frac{1}{3}$。
【答案】：
$\frac{1}{3}$。

4. 下列各式:①$\frac{30b}{27a}$;②$\frac{y^{2}-x^{2}}{x+y}$;③$\frac{y^{2}+x^{2}}{x+y}$;④$\frac{m^{2}}{m}$;⑤$\frac{2x+3}{x-3}$.其中分子与分母没有公因式的是$\underline{\quad③⑤\quad}$(填序号).

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的基本性质，特别是分子与分母是否有公因式。
对于①$\frac{30b}{27a}$，分子和分母都可以被3整除，所以它们有公因式3，不符合题意；
对于②$\frac{y^{2}-x^{2}}{x+y}$，分子可以因式分解为$(y+x)(y-x)$，与分母有公因式$y+x$（在$y \neq -x$时），所以不符合题意；
对于③$\frac{y^{2}+x^{2}}{x+y}$，分子是两个平方数的和，与分母没有公因式，符合题意；
对于④$\frac{m^{2}}{m}$，分子和分母都可以被m整除，所以它们有公因式m，不符合题意；
对于⑤$\frac{2x+3}{x-3}$，分子和分母之间没有公因式，符合题意。
【答案】：
③⑤

5. 下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)$\frac{1}{ab}= \frac{c}{abc}(c \neq 0)$;
(2)$\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}-y^{2}}= \frac{x-y}{x+y}(x \neq y)$;
(3)$\frac{a^{2}x}{bx}= \frac{a^{2}}{b}(x \neq 0)$.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的基本性质，即分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零多项式，分式的值不变。
(1) 对于等式 $\frac{1}{ab} = \frac{c}{abc}$（其中 $c \neq 0$）：
我们可以观察到，右边的分母 $abc$ 是左边的分母 $ab$ 乘以 $c$ 得到的。根据分式的基本性质，为了保持分式的值不变，分子也需要乘以 $c$。但在这里，左边的分子是 $1$，乘以 $c$ 后变为 $c$，与右边的分子一致。因此，这个等式是通过分子分母同时乘以 $c$ 得到的。
(2) 对于等式 $\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{x-y}{x+y}$（其中 $x \neq y$）：
首先，我们可以将 $x^{2}-y^{2}$ 分解为 $(x+y)(x-y)$。这样，右边的分母 $x+y$ 就是左边分母 $(x+y)(x-y)$ 除以 $x-y$ 得到的。同样地，为了保持分式的值不变，分子也需要除以 $x-y$。在这里，左边的分子是 $(x-y)^{2}$，除以 $x-y$ 后变为 $x-y$，与右边的分子一致。因此，这个等式是通过分子分母同时除以 $x-y$ 得到的。
(3) 对于等式 $\frac{a^{2}x}{bx} = \frac{a^{2}}{b}$（其中 $x \neq 0$）：
我们可以观察到，右边的分子 $a^{2}$ 是左边的分子 $a^{2}x$ 除以 $x$ 得到的。同样地，为了保持分式的值不变，分母也需要除以 $x$。在这里，左边的分母是 $bx$，除以 $x$ 后变为 $b$，与右边的分母一致。因此，这个等式是通过分子分母同时除以 $x$ 得到的。
【答案】：
(1) 分子分母同时乘以 $c$（$c \neq 0$）。
(2) 分子分母同时除以 $x-y$（$x \neq y$）。
(3) 分子分母同时除以 $x$（$x \neq 0$）。

6. 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母中首项的系数都不含“$-$”号.
(1)$\frac{2x-1}{-x+1}$;(2)$\frac{-x^{2}+2x+1}{-x-2}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。同时，也考查了符号的变换，即使分子或分母的首项系数为正。
对于第一个分式 $\frac{2x-1}{-x+1}$，我们可以通过同时改变分子和分母的符号，使其首项系数都为正。
对于第二个分式 $\frac{-x^{2}+2x+1}{-x-2}$，我们同样可以通过同时改变分子和分母的符号，达到同样的目的。
【答案】：
(1) 解：
原式 $\frac{2x-1}{-x+1}$
= $\frac{-(2x-1)}{-(-x+1)}$
= $\frac{-(2x-1)}{x-1}$
= $-\frac{2x-1}{x-1}$
(2) 解：
原式 $\frac{-x^{2}+2x+1}{-x-2}$
= $\frac{-(-x^{2}+2x+1)}{-(-x-2)}$
= $\frac{x^{2}-2x-1}{x+2}$

7. 约分.
(1)$\frac{-16x^{2}y^{3}}{20xy^{4}}$;(2)$\frac{ab^{2}+2b}{b}$;
(3)$\frac{2x(x-y)^{3}}{4y(y-x)^{2}}$;(4)$\frac{x^{4}-1}{1-x^{2}}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的约分，需要利用分式的基本性质，即分式的分子和分母可以同时除以同一个非零多项式，从而简化分式。
(1) 对于 $\frac{-16x^{2}y^{3}}{20xy^{4}}$，可以观察到分子和分母都含有 $x$ 和 $y$ 的因子，因此可以尝试约去这些公共因子。
(2) 对于 $\frac{ab^{2}+2b}{b}$，可以观察到分子中的每一项都含有 $b$ 的因子，因此可以将 $b$ 提取出来并约去。
(3) 对于 $\frac{2x(x-y)^{3}}{4y(y-x)^{2}}$，注意到 $(x-y)$ 和 $(y-x)$ 是相反数，可以利用这一点进行化简。
(4) 对于 $\frac{x^{4}-1}{1-x^{2}}$，可以利用差平方公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 进行化简。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $\frac{-16x^{2}y^{3}}{20xy^{4}}$
= $\frac{-4 × 4x^{2}y^{3}}{4 × 5xy^{4}}$
= $- \frac{4x}{5y}$
(2) 解：
原式 = $\frac{ab^{2}+2b}{b}$
= $\frac{b(ab+2)}{b}$
= $ab + 2$
(3) 解：
原式 = $\frac{2x(x-y)^{3}}{4y(y-x)^{2}}$
= $\frac{2x(x-y)^{3}}{4y(x-y)^{2}}$ （因为 $(y-x) = -(x-y)$）
= $\frac{x(x-y)}{2y}$
(4) 解：
原式 = $\frac{x^{4}-1}{1-x^{2}}$
= $\frac{(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{-(x^{2}-1)}$ （利用差平方公式）
= $- (x^{2}+1)$ （注意 $x \neq 1$ 且 $x \neq -1$，因为分母不能为零）

8. 小红在化简分式$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}$时,给出了两种不同的解法.
解法一:$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}= \frac{(x+y)(x-y)}{x+y}= x-y$.
解法二:$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}= \frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)}{(x+y)(x-y)}= \frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)}{x^{2}-y^{2}}= x-y$.
这两种解法都正确吗？谈谈你的看法.

答案： 【解析】：
本题考查分式的基本性质及化简。需要分析两种解法是否正确，特别是解法二中的每一步是否都合理。
解法一：
$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}= \frac{(x+y)(x-y)}{x+y}= x-y$，
此解法利用了差平方公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，并且正确地约去了分子和分母的公因式$x+y$（在$x \neq -y$的条件下），因此解法一是正确的。
解法二：
$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}= \frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)}{(x+y)(x-y)}= \frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)}{x^{2}-y^{2}}= x-y$，
此解法试图通过乘以$\frac{x-y}{x-y}$来化简分式。然而，当$x = y$时，$x-y=0$，此时$\frac{x-y}{x-y}$是无定义的。因此，解法二在$x = y$的情况下是不合法的。即使$x \neq y$，乘以$\frac{x-y}{x-y}$也是多余的，因为分子和分母都会乘以同一个非零因子，这不会改变分式的值，但增加了不必要的复杂性。更重要的是，当$x = y$时，原分式$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}$是有定义的（只要$x \neq -y$），但解法二中的中间步骤会导致分母为零，从而得出错误的结论。
【答案】：
解法一是正确的，解法二是不正确的。解法二在$x = y$的情况下是不合法的，因为它会导致分母为零。在化简分式时，我们应该避免引入可能导致分母为零的因子。