《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. $2\ 025^{2}-2\ 024^{2}=$4049.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$的应用。
根据平方差公式，可以将原式$2025^2 - 2024^2$进行因式分解。
【答案】：
解：
$2025^2 - 2024^2$
$= (2025 + 2024)(2025 - 2024)$
$= 4049 × 1$
$= 4049$
故答案为：$4049$。

2. 分解因式:$a^{2}-4= $$(a+2)(a-2)$.

答案： 解：$a^{2}-4$
$=a^{2}-2^{2}$
$=(a+2)(a-2)$
故答案为：$(a+2)(a-2)$

3. 分解因式:$4x^{2}-9y^{2}=$$(2x+3y)(2x-3y)$.

答案： 解：$4x^{2}-9y^{2}$
$=(2x)^{2}-(3y)^{2}$
$=(2x+3y)(2x-3y)$
故答案为：$(2x+3y)(2x-3y)$

4. 若一个长方形的面积为$4y^{2}-x^{2}$,宽为$2y-x$,则该长方形的长为$2y + x$.

答案： 解：因为长方形的面积等于长乘以宽，所以长 = 面积 ÷ 宽。
已知面积为$4y^{2}-x^{2}$，宽为$2y - x$。
将$4y^{2}-x^{2}$分解因式，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，可得：
$4y^{2}-x^{2}=(2y)^2 - x^2=(2y + x)(2y - x)$
则长为$(2y + x)(2y - x)÷(2y - x)=2y + x$
故该长方形的长为$2y + x$。

5. 计算:$1.22^{2}×9 - 1.33^{2}×4= $6.32.

答案： 【解析】：
本题考查了平方差公式的应用，我们可以先将式子中的$9$和$4$分别写成$3^2$和$2^2$，然后应用平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$进行化简。
【答案】：
解：原式
$= 1.22^{2} × 3^{2} - 1.33^{2} × 2^{2}$
$= (1.22 × 3)^{2} - (1.33 × 2)^{2}$
$= 3.66^{2} - 2.66^{2}$
应用平方差公式，得
$= (3.66 + 2.66)(3.66 - 2.66)$
$= 6.32 × 1$
$= 6.32$
故答案为：$6.32$。

6. 把下列各式进行因式分解.
(1)$-\frac{1}{25}+4y^{2}$;
(2)$9a^{3}b - ab^{3}$;
(3)$(5m + 2n)^{2}-(2m + 5n)^{2}$;
(4)$16a^{4}-b^{4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了公式法分解因式的应用，具体涉及平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$和完全平方公式的逆用，以及提取公因式法。
(1) 对于式子$-\frac{1}{25}+4y^{2}$，可以将其看作$ (2y)^2 - (\frac{1}{5})^2 $，利用平方差公式进行因式分解。
(2) 对于式子$9a^{3}b - ab^{3}$，首先提取公因式$ab$，得到$ab(9a^{2} - b^{2})$，再利用平方差公式继续分解。
(3) 对于式子$(5m + 2n)^{2}-(2m + 5n)^{2}$，可以直接利用平方差公式进行因式分解。
(4) 对于式子$16a^{4}-b^{4}$，可以将其看作$ (4a^{2})^2 - (b^{2})^2 $，利用平方差公式进行因式分解，再观察是否可继续分解。
【答案】：
(1)解：
原式
$= 4y^{2} - \frac{1}{25}$
$= (2y)^2 - (\frac{1}{5})^2$
$= (2y + \frac{1}{5})(2y - \frac{1}{5})$
(2)解：
原式
$= ab(9a^{2} - b^{2})$
$= ab((3a)^2 - b^2)$
$= ab(3a + b)(3a - b)$
(3)解：
原式
$= ((5m + 2n) + (2m + 5n))((5m + 2n) - (2m + 5n))$
$= (7m + 7n)(3m - 3n)$
$= 21(m + n)(m - n)$
(4)解：
原式
$= (4a^{2})^2 - (b^{2})^2$
$= (4a^{2} + b^{2})(4a^{2} - b^{2})$
$= (4a^{2} + b^{2})(2a + b)(2a - b)$

7. 把下列各式进行因式分解.
(1)$0.16x^{2}-1$;
(2)$2ax^{2}-2ay^{2}$;
(3)$(m + n)^{2}-25n^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了利用公式法进行因式分解。
对于 $0.16x^{2}-1$，可以将其看作是 $(0.4x)^{2} - 1^{2}$，利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 进行因式分解。
对于 $2ax^{2}-2ay^{2}$，首先提取公因式 $2a$，得到 $2a(x^{2}-y^{2})$，再利用平方差公式进行因式分解。
对于 $(m + n)^{2}-25n^{2}$，可以将其看作是 $(m+n)^{2} - (5n)^{2}$，同样利用平方差公式进行因式分解。
【答案】：
(1)解：
$0.16x^{2}-1$
$= (0.4x)^{2} - 1^{2}$
$= (0.4x + 1)(0.4x - 1)$
(2)解：
$2ax^{2}-2ay^{2}$
$= 2a(x^{2}-y^{2})$
$= 2a(x + y)(x - y)$
(3)解：
$(m + n)^{2}-25n^{2}$
$= (m + n)^{2} - (5n)^{2}$
$= (m + n + 5n)(m + n - 5n)$
$= (m + 6n)(m - 4n)$

8. 新定义题:如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“美丽数”.如$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$,$20= 6^{2}-4^{2}$,因此4,12,20都是“美丽数”.
(1)36是“美丽数”吗？为什么？
(2)“美丽数”一定是4的倍数吗？请说明理由.

答案：
(1)解：36是“美丽数”。
设两个连续偶数为$2n$和$2n + 2$（$n$为整数），则$(2n + 2)^2-(2n)^2=36$，
展开得$4n^2 + 8n + 4-4n^2=36$，
化简得$8n + 4=36$，
解得$n = 4$，
此时$2n=8$，$2n + 2=10$，$10^2-8^2=100 - 64=36$，所以36是“美丽数”。
(2)解：“美丽数”一定是4的倍数。
设两个连续偶数为$2n$和$2n + 2$（$n$为整数），
则“美丽数”为$(2n + 2)^2-(2n)^2$，
因式分解得$[(2n + 2)+2n][(2n + 2)-2n]=(4n + 2)×2=4(2n + 1)$，
因为$n$为整数，所以$2n + 1$是整数，
所以“美丽数”一定是4的倍数。