《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 式子$\frac{3}{m^2 - 9}和\frac{2}{9 - 6m}$的最简公分母是$3(m+3)(m-3)(2m - 3)$.

答案： 解：$m^2 - 9=(m+3)(m-3)$
$9 - 6m= -3(2m - 3)$
最简公分母是$3(m+3)(m-3)(2m - 3)$
$3(m+3)(m-3)(2m - 3)$

2. 分式$\frac{1}{ab^2} \cdot \frac{5}{3a^2c}$的最简公分母是$3a^2b^2c$.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的最简公分母的求解。
首先，我们需要明确什么是最简公分母。对于两个或多个分式，其最简公分母是这些分式分母的最小公倍数，同时考虑到各个分母中字母的最高次幂。
对于给定的两个分式 $\frac{1}{ab^2}$ 和 $\frac{5}{3a^2c}$，
第一个分式的分母是 $ab^2$，
第二个分式的分母是 $3a^2c$。
为了找到最简公分母，我们需要考虑所有出现的字母（$a$, $b$, $c$）以及它们的最高次幂。
字母 $a$ 在两个分母中都有出现，最高次幂是 $a^2$；
字母 $b$ 只在第一个分母中出现，最高次幂是 $b^2$；
字母 $c$ 只在第二个分母中出现，最高次幂是 $c$；
另外，我们还需要考虑数字系数，即两个分母中的数字 $1$ 和 $3$，它们的最小公倍数是 $3$，但在最简公分母中，我们通常将数字系数化为整数，并且使其与其他部分相乘后结果最简洁，所以这里直接取 $3$ 即可（实际上，由于 $1$ 和任何数的最小公倍数都是那个数本身，所以这里主要是考虑其他分母中的数字）。
综合以上因素，最简公分母为 $3 × a^2 × b^2 × c = 3a^2b^2c$。
【答案】：
$3a^2b^2c$

3. 若$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$,则$\frac{a + b}{b}$的值为$\frac{5}{3}$.

答案： 解：因为$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$，所以$\frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$。
$\frac{5}{3}$

4. 化简：$\frac{x + 2y}{x^2 - 4y^2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的基本性质及化简。给定的分式为$\frac{x + 2y}{x^2 - 4y^2}$，其中分母$x^2 - 4y^2$可以看作是差平方，即$(x + 2y)(x - 2y)$。因此，可以通过分子分母约去公因式$x + 2y$来化简该分式。
【答案】：
解：原式
$= \frac{x + 2y}{(x + 2y)(x - 2y)}$
$= \frac{1}{x - 2y}$

5. 通分：
(1)$\frac{x}{2y}, \frac{2}{3xy^2}$；
(2)$\frac{5}{x - y}, \frac{2}{(y - x)^2}$；
(3)$x - y, \frac{x - y}{x + y}$.

答案：
(1)解：最简公分母是$6xy^2$
$\frac{x}{2y}=\frac{x\cdot 3xy}{2y\cdot 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$
(2)解：最简公分母是$(x - y)^2$
$\frac{5}{x - y}=\frac{5(x - y)}{(x - y)(x - y)}=\frac{5(x - y)}{(x - y)^2}$
$\frac{2}{(y - x)^2}=\frac{2}{(x - y)^2}$
(3)解：最简公分母是$x + y$
$x - y=\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}=\frac{x^2 - y^2}{x + y}$
$\frac{x - y}{x + y}=\frac{x - y}{x + y}$

6. 已知分式$\frac{1}{3x^2 - 3}和\frac{2}{x - 1}$,其中$a$是这两个分式中分母的公因式,$b$是这两个分式的最简公分母,且$\frac{b}{a} = 3$,试求这两个分式的值.

答案： 解：对第一个分式的分母因式分解：$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x + 1)(x - 1)$。
两个分式的分母分别为$3(x + 1)(x - 1)$和$x - 1$，公因式$a = x - 1$，最简公分母$b = 3(x + 1)(x - 1)$。
由$\frac{b}{a} = 3$，得$\frac{3(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = 3(x + 1) = 3$，解得$x + 1 = 1$，$x = 0$。
将$x = 0$代入第一个分式：$\frac{1}{3×0^2 - 3} = -\frac{1}{3}$。
将$x = 0$代入第二个分式：$\frac{2}{0 - 1} = -2$。
答：这两个分式的值分别为$-\frac{1}{3}$和$-2$。

7. 已知$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$,求分式$\frac{2x + 3y - 3z}{2x - 3y + 3z}$的值.

答案： 解：设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k(k \neq 0)$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
将$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$代入分式$\frac{2x + 3y - 3z}{2x - 3y + 3z}$，得：
$\begin{aligned}&\frac{2×2k + 3×3k - 3×4k}{2×2k - 3×3k + 3×4k}\\=&\frac{4k + 9k - 12k}{4k - 9k + 12k}\\=&\frac{(4 + 9 - 12)k}{(4 - 9 + 12)k}\\=&\frac{1k}{7k}\\=&\frac{1}{7}\end{aligned}$
故分式的值为$\frac{1}{7}$。