《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列可以运用平方差公式计算的有①④(填序号).
①$(a + b)(-b + a)$;②$(-a + b)(a - b)$;③$(a + b)(-a - b)$;④$(a - b)(-a - b)$.

答案： 解：平方差公式为$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，其特点是两个因式中一项相同，另一项互为相反数。
①$(a + b)(-b + a)=(a + b)(a - b)$，其中$a$相同，$b$与$-b$互为相反数，符合平方差公式特点。
②$(-a + b)(a - b)=-(a - b)(a - b)=-(a - b)^2$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特点。
③$(a + b)(-a - b)=-(a + b)(a + b)=-(a + b)^2$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特点。
④$(a - b)(-a - b)=-(a - b)(a + b)=-(a^2 - b^2)$，其中$-b$相同，$a$与$-a$互为相反数，符合平方差公式特点。
故可以运用平方差公式计算的有①④。
答案：①④

2. 计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)= $$x^2 - 9$;
(2)$(a - b)(-b - a)= $$b^2 - a^2$;
(3)$(2ab - n)(2ab + n)= $$4a^2b^2 - n^2$.

答案：
(1)解：$(x + 3)(x - 3)$
$=x^2 - 3^2$
$=x^2 - 9$
(2)解：$(a - b)(-b - a)$
$=(-b + a)(-b - a)$
$=(-b)^2 - a^2$
$=b^2 - a^2$
(3)解：$(2ab - n)(2ab + n)$
$=(2ab)^2 - n^2$
$=4a^2b^2 - n^2$

3. 计算：
(1)$\left(-\frac{1}{5}x + 2y\right)\left(-\frac{1}{5}x - 2y\right)$;
(2)$(x + 2y)(x - 2y)-x(x - y)$;
(3)$\left(-\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y\right)\left(-\frac{2}{3}y + \frac{1}{2}x\right)$;
(4)$2024 × 2026 - 2025^2$.

答案：
(1)解：原式$=\left(-\frac{1}{5}x\right)^2-(2y)^2=\frac{1}{25}x^2 - 4y^2$
(2)解：原式$=x^2-(2y)^2-(x^2 - xy)=x^2 - 4y^2 - x^2 + xy=xy - 4y^2$
(3)解：原式$=\left(-\frac{2}{3}y\right)^2-\left(\frac{1}{2}x\right)^2=\frac{4}{9}y^2 - \frac{1}{4}x^2$
(4)解：原式$=(2025 - 1)(2025 + 1)-2025^2=2025^2 - 1 - 2025^2=-1$

4. 先化简,再求值：$(2 - a)(2 + a)-2a(a + 3)+3a^2$,其中$a = -\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式以及代数式的化简与求值。
首先，我们需要利用平方差公式将原式中的$(2 - a)(2 + a)$化简为$4 - a^2$。
接着，我们将$-2a(a + 3)$展开为$-2a^2 - 6a$。
然后，我们将上述两部分与$3a^2$合并，得到化简后的代数式。
最后，我们将$a = -\frac{1}{3}$代入化简后的代数式，求出其值。
【答案】：
解：原式
= $(2 - a)(2 + a) - 2a(a + 3) + 3a^2$
= $4 - a^2 - 2a^2 - 6a + 3a^2$ （利用平方差公式和乘法分配律）
= $4 - 6a$ （合并同类项）
当 $a = -\frac{1}{3}$ 时，
原式 = $4 - 6 × (-\frac{1}{3})$
= $4 + 2$
= $6$。

5. 如图所示,从边长为$a的大正方形中截去一个边长为b$的小正方形.

(1)请用含$a,b$的式子表示图中阴影部分的面积.
(2)将阴影部分沿虚线剪开,再拼成一个长方形,则这个长方形的长、宽及面积分别是多少？
(3)比较前两问的结果,你能验证平方差公式吗？

答案：
(1) 解：阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即 $a^2 - b^2$。
(2) 解：长方形的长为 $a + b$，宽为 $a - b$，面积 = 长×宽 = $(a + b)(a - b)$。
(3) 解：由
(1)和
(2)可知，阴影部分面积相等，所以 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，验证了平方差公式。