《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,若$\angle B= 40^\circ,$$\angle ACD= 110^\circ,则\angle A= $70°.

答案： 解：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠B=40°，∠ACD=110°，
∴∠A=∠ACD - ∠B=110° - 40°=70°．
70

2. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 30^\circ,$D是AB延长线上一点,过点D作EF// BC. 若$\angle ADE= 70^\circ,则\angle C= $40°.

答案： 40

3. 如图所示,若$\angle A= 30^\circ,$$\angle B= 55^\circ,$$\angle C= 20^\circ,则\angle ADC= $105°.

答案： 【解析】：
本题考查的是三角形的外角性质。
需要连接$BD$，从而形成两个三角形：$\triangle ABD$和$\triangle BDC$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB$是$\angle A$和$\angle ABD$的外角，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，有：
$\angle ADB=\angle A+\angle ABD$，
同理，在$\triangle BDC$中，$\angle BDC$是$\angle C$和$\angle CBD$的外角，所以：
$\angle BDC=\angle C+\angle CBD$，
由于$\angle ABD+\angle CBD=\angle ABC$，
所以$\angle ADC$可以表示为：
$\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC$
$=(\angle A+\angle ABD)+(\angle C+\angle CBD)$
$=\angle A+\angle C+\angle ABD+\angle CBD$
$=\angle A+\angle C+\angle ABC$
将已知的$\angle A=30^\circ$，$\angle B=55^\circ$，$\angle C=20^\circ$代入上式，得：
$\angle ADC=30^\circ+55^\circ+20^\circ=105^\circ$。
【答案】：
$105$。

4. 如图所示,在七星形中,$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G= $180°.

答案：
解：设AE与BF相交于点M，BF与CG相交于点N
根据三角形外角性质：
∠1=∠A+∠D（∠1为△ADH的外角，H为AD与EF交点）
∠2=∠B+∠E（∠2为△BEI的外角，I为BE与CF交点）
∠3=∠C+∠F（∠3为△CGJ的外角，J为CG与DF交点）
在△MNG中，∠1+∠2+∠3+∠G=180°
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°

5. (1)如图①所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC和\angle ACB$的平分线交于点O,求证$\angle BOC= 90^\circ+\frac{1}{2}\angle A；$
(2)如图②所示,$\angle ABC和\angle ACD$的平分线交于点O,求证$\angle BOC= \frac{1}{2}\angle A；$
(3)如图③所示,$\angle DBC和\angle BCE$的平分线交于点O,请直接写出$\angle BOC与\angle A$的关系.

答案：
(1)证明：
∵在△ABC中，OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1 + ∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC = 180°−(∠1 + ∠2)=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A。
(2)证明：
∵∠OCD是△BCO的外角，
∴∠BOC = ∠2 − ∠1。
又
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠ACD − ∠ABC)。
∵∠A = ∠ACD − ∠ABC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A。
(3)解：
∵BO，CO为△ABC中∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠BCE，∠1=$\frac{1}{2}$∠DBC。
∵∠BCE = ∠A + ∠ABC，∠DBC = ∠A + ∠ACB，
∴∠2=$\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)，∠1=$\frac{1}{2}$(∠A + ∠ACB)。
由三角形内角和定理，得∠BOC = 180°−∠1 − ∠2
=180°−$\frac{1}{2}$(2∠A + ∠ABC + ∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(∠A + 180°)=90°−$\frac{1}{2}$∠A。