《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,AB= 10,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是(B)
A.2.4
B.4.8
C.4
D.5

答案： 【解析】：本题可根据角平分线的性质以及垂线段最短的性质，通过作辅助线来求解$PC + PQ$的最小值。
步骤一：作辅助线
过点$C$作$CE\perp AB$交$AB$于点$E$，交$AD$于点$P$，过点$P$作$PQ\perp AC$于点$Q$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PQ = PE$，则$PC + PQ = PC + PE$。
根据两点之间线段最短可知，当$C$，$P$，$E$三点共线时，$PC + PE$的值最小，即$PC + PQ$的最小值为$CE$的长。
步骤二：计算$CE$的长度
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
将$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$代入到$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CE$中，可得$\frac{1}{2}× 6× 8 = \frac{1}{2}× 10× CE$，
即$24 = 5CE$，解得$CE = 4.8$。
所以$PC + PQ$的最小值是$4.8$。
【答案】：B。

2.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点.当S△ABC= 12,AC= 8时,BM+MN的最小值等于______.

3

答案： 解：作点N关于AD的对称点N'，根据AD平分∠BAC，可知N'在AC上。则BM+MN=BM+MN'，当B、M、N'三点共线且BN'⊥AC时，BM+MN'取得最小值，即BN'的长。
因为S△ABC=12，AC=8，所以BN'=2S△ABC/AC=2×12/8=3。
故BM+MN的最小值等于3。
答案：3

3.如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过点D作AC的垂线,垂足为F,与AB相交于点E,连接CE.
(1)求证AE= CE= BE；
(2)若DA⊥AB,BC= 6,P是直线DE上的一点,求当P在何处时,PB+PC最小,并求出此时PB+PC的值.

答案：
(1)证明：
∵△ACD是等边三角形，DE⊥AC，
∴AF=CF，∠DAF=60°，
∴DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠B=90°，∠ECA+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ECB，
∴CE=BE，
∴AE=CE=BE．
(2)解：
∵DA⊥AB，∠DAF=60°，
∴∠EAC=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∵BC=6，CE=BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=6，
∵AE=BE，
∴AB=12，
在Rt△ABC中，AC=AB·cos30°=6√3，
∵DE垂直平分AC，
∴点C关于DE的对称点是A，
∴PB+PC=PB+PA，
当P与E重合时，PB+PA最小，最小值为AB=12，
∴当P与E重合时，PB+PC最小，最小值为12．