《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 幂的乘方:底数不变,指数相乘. 用式子表示:$(a^m)^n= $$a^{mn}$(m,n都是正整数). 推广：$(a^m)^{np}=a^{mnp}$(m,n,p均为正整数).

答案： 【解析】：
本题考查幂的乘方的基本概念和运算规则。幂的乘方是指一个幂再次被取幂，其底数保持不变，而指数则进行相乘。用式子表示即为$(a^m)^n$，其中$a$是底数，$m$和$n$是指数。根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$。进一步推广，如果有三个正整数$m, n, p$，则$(a^m)^{n × p} = a^{m × n × p}$。
【答案】：
底数不变，指数相乘。
用式子表示: $(a^m)^n = a^{mn}$ (m，n都是正整数)。
推广：$(a^m)^{np} = a^{mnp}$ (m，n，p均为正整数)。

2. 计算：
(1)$(10^3)^2=$$10^6$；
(2)$-(a^2)^3\cdot a=$$-a^7$；
(3)$(m^2)^4\cdot (-m)^2\cdot m=$$m^{11}$.

答案：
(1)解：$(10^3)^2=10^{3×2}=10^6$
(2)解：$-(a^2)^3\cdot a=-a^{2×3}\cdot a=-a^6\cdot a=-a^{6+1}=-a^7$
(3)解：$(m^2)^4\cdot (-m)^2\cdot m=m^{2×4}\cdot m^2\cdot m=m^8\cdot m^2\cdot m=m^{8+2+1}=m^{11}$
答案依次为：
(1)$10^6$；
(2)$-a^7$；
(3)$m^{11}$

3. 若$3^a= 1,3^b= 2$,则$3^{2a+b}$的值为2.

答案： 解：因为$3^a = 1$，$3^b = 2$，
所以$3^{2a + b} = 3^{2a} × 3^b$
$=(3^a)^2 × 3^b$
$=1^2 × 2$
$=1×2$
$=2$
故答案为：2

4. 若$64×8^3= 2^x$,则$x= $15.

答案： 解：$64×8^3$
$=2^6×(2^3)^3$
$=2^6×2^9$
$=2^{6+9}$
$=2^{15}$
因为$64×8^3 = 2^x$，所以$x = 15$
15

5. 若$a^m= 2,a^n= 3$,则$a^{3m+2n}= $72.

答案： 解：$a^{3m+2n}=a^{3m}\cdot a^{2n}$
$=(a^m)^3\cdot (a^n)^2$
因为$a^m=2$，$a^n=3$，所以原式$=2^3×3^2$
$=8×9$
$=72$
72

6. (1)若$a^5\cdot (a^y)^3= a^{14}$,则$y= $3；
(2)若$(\frac{8}{27})^2= (\frac{2}{3})^m$,则$m= $6.

答案： 【解析】：
本题主要考察幂的乘方与积的乘方的运算规则。
(1) 对于 $a^5 \cdot (a^y)^3 = a^{14}$，
根据幂的乘方运算法则，$(a^y)^3 = a^{3y}$，
所以原式变为 $a^5 \cdot a^{3y} = a^{14}$，
再根据同底数幂的乘法运算法则，$a^5 \cdot a^{3y} = a^{5+3y}$，
因此，$5+3y=14$，
解这个方程得到 $y=3$。
(2) 对于 $(\frac{8}{27})^2 = (\frac{2}{3})^m$，
首先，$\frac{8}{27}$ 可以写成 $(\frac{2}{3})^3$，
所以 $(\frac{8}{27})^2 = ((\frac{2}{3})^3)^2 = (\frac{2}{3})^{3 × 2} = (\frac{2}{3})^6$，
因此，$m=6$。
【答案】：
(1) $y = 3$
(2) $m = 6$

7. 计算：
(1)$5(a^4)^3-15(a^6)^2$；
(2)$6x^3\cdot x^5\cdot (x^2)^3-(x^7)^2$.

答案：
(1)解：原式$=5a^{12}-15a^{12}=-10a^{12}$
(2)解：原式$=6x^{3}\cdot x^{5}\cdot x^{6}-x^{14}=6x^{14}-x^{14}=5x^{14}$

8. 若$a + 3b - 2 = 0$,求$3^a\cdot 27^b$的值.

答案： 解：由$a + 3b - 2 = 0$，得$a + 3b = 2$。
$3^a \cdot 27^b = 3^a \cdot (3^3)^b = 3^a \cdot 3^{3b} = 3^{a + 3b}$。
因为$a + 3b = 2$，所以$3^{a + 3b} = 3^2 = 9$。
故$3^a \cdot 27^b$的值为$9$。

9. 阅读下列解题过程,试比较$2^{100}与3^{75}$的大小.
解:$2^{100}= (2^4)^{25}= 16^{25},3^{75}= (3^3)^{25}= 27^{25}$,而$16＜27$,$\therefore 2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述解题过程解答:比较$2^{55},3^{44},5^{33}$的大小.

答案： 【解析】：
本题主要考察幂的乘方与积的乘方的性质以及大小比较。
首先，我们需要将每个数都转化为具有相同指数的形式，以便进行比较。
具体地，我们可以将$2^{55}$，$3^{44}$，$5^{33}$分别转化为以11为指数的形式。
对于$2^{55}$，我们可以将其写为$(2^5)^{11} = 32^{11}$；
对于$3^{44}$，我们可以将其写为$(3^4)^{11} = 81^{11}$；
对于$5^{33}$，我们可以将其写为$(5^3)^{11} = 125^{11}$。
由于$32 ＜ 81 ＜ 125$，根据幂的性质，当底数大于1且指数相同时，幂的大小关系与底数的大小关系一致。
因此，我们可以得出$2^{55} ＜ 3^{44} ＜ 5^{33}$。
【答案】：
解：
$\because 2^{55} = (2^5)^{11} = 32^{11}$，
$3^{44} = (3^4)^{11} = 81^{11}$，
$5^{33} = (5^3)^{11} = 125^{11}$，
且$32 ＜ 81 ＜ 125$，
$\therefore 2^{55} ＜ 3^{44} ＜ 5^{33}$。

10. 规定两数a,b之间的一种运算,记作$(a,b)$. 如果$a^c = b$,那么$(a,b)= c$. 例如:$\because 2^4= 16$,$\therefore (2,16)= 4$.
(1)根据上述规定,填空.
$(3,9)=$2；$(9,81)=$2；$(27,729)=$2；$(3^n,9^n)=$2.
(2)直接写出$(3^n,0.25^n)与(3,0.25)$的数量关系.
$(3^n,0.25^n)=(3,0.25)$
(3)猜想$(a^n,b^n)与(a,b)$的数量关系,并给出证明.
猜想：$(a^n,b^n)=(a,b)$
证明：设$(a,b)=c$，则$a^c=b$。
$\therefore (a^n)^c=a^{nc}=(a^c)^n=b^n$，
$\therefore (a^n,b^n)=c$，
$\therefore (a^n,b^n)=(a,b)$。

答案：
(1)
$\because 3^2=9$，$\therefore (3,9)=2$；
$\because 9^2=81$，$\therefore (9,81)=2$；
$\because 27^2=729$，$\therefore (27,729)=2$；
$\because (3^n)^2=9^n$，$\therefore (3^n,9^n)=2$。
(2)
$(3^n,0.25^n)=(3,0.25)$
(3)
猜想：$(a^n,b^n)=(a,b)$
证明：设$(a,b)=c$，则$a^c=b$。
$\therefore (a^n)^c=a^{nc}=(a^c)^n=b^n$，
$\therefore (a^n,b^n)=c$，
$\therefore (a^n,b^n)=(a,b)$。