《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列条件：$①\angle A+\angle B= \angle C；$$②\angle A:\angle B:\angle C= 1:2:3；$$③\angle A= 90^\circ-\angle B；$$④\angle A= \angle B= \angle C. 其中能确定\triangle ABC$是直角三角形的有①②③(填序号).

答案： 【解析】：
本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类。
根据三角形的内角和定理，对于任意三角形，其三个内角之和为$180^\circ$。
对于条件$①$：$\angle A + \angle B = \angle C$，
由于三角形的内角和为$180^\circ$，
则 $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$。
将$\angle A + \angle B = \angle C$代入，得到 $2\angle C = 180^\circ$，
解得 $\angle C = 90^\circ$。
因此，能确定$\triangle ABC$是直角三角形。
对于条件$②$：$\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$，
设 $\angle A = x$，则 $\angle B = 2x$，$\angle C = 3x$。
由三角形的内角和定理，有 $x + 2x + 3x = 180^\circ$，
解得 $x = 30^\circ$，
所以 $\angle C = 90^\circ$。
因此，能确定$\triangle ABC$是直角三角形。
对于条件$③$：$\angle A = 90^\circ - \angle B$，
则 $\angle A + \angle B = 90^\circ$。
由三角形的内角和定理，有 $\angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
因此，能确定$\triangle ABC$是直角三角形。
对于条件$④$：$\angle A = \angle B = \angle C$，
由三角形的内角和定理，有 $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$。
这是一个等边三角形，不是直角三角形。
综上所述，能确定$\triangle ABC$是直角三角形的有$①②③$。
【答案】：
$①②③$

2. 在$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C= 90^\circ,$$\angle B= 3\angle A,则\angle A= $22.5°.

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，
$\therefore \angle A + \angle B = 90^\circ$。
$\because \angle B = 3\angle A$，
$\therefore \angle A + 3\angle A = 90^\circ$，
$4\angle A = 90^\circ$，
$\angle A = 22.5^\circ$。
22.5

3. 在$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C= 90^\circ,$$\angle A-\angle B= 10^\circ,则\angle A= $50°.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角形内角和定理以及角度的运算。
在直角三角形$ABC$中，已知$\angle C = 90^\circ$，根据三角形内角和为$180^\circ$，有$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$。
由于$\angle C = 90^\circ$，可以简化为$\angle A + \angle B = 90^\circ$。
题目还给出了$\angle A - \angle B = 10^\circ$，可以通过联立这两个方程来求解$\angle A$。
【答案】：
解：
由$\angle A + \angle B = 90^\circ$和$\angle A - \angle B = 10^\circ$，
两式相加得：$2\angle A = 100^\circ$，
从而$\angle A = 50^\circ + 10^\circ ÷ 2 = 50^\circ$（这里实际上直接得出$2\angle A = 100^\circ$后，除以2即得$\angle A = 50^\circ$，无需加$10^\circ ÷ 2$，此步骤为解释性冗余，直接给出最终结果）。
所以，$\angle A = 50^\circ$。
故答案为：$50$。

4. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ,$点D在边AB上,$DE\perp AB$于点D,$\angle AED= 55^\circ. 求\angle B$的大小.

答案： 解：在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE=90^\circ$，$\angle AED=55^\circ$
$\angle A=90^\circ - \angle AED=90^\circ - 55^\circ=35^\circ$
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$
$\angle B=90^\circ - \angle A=90^\circ - 35^\circ=55^\circ$
答：$\angle B$的大小为$55^\circ$

5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C,$$FD\perp BC$于点D,$DE\perp AB$于点E,$\angle AFD= 152^\circ,求\angle EDF$的大小.

答案： 解：
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∵∠AFD=152°，∠AFD+∠CFD=180°，
∴∠CFD=180°-152°=28°，
在Rt△CFD中，∠C=90°-∠CFD=90°-28°=62°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=62°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠BDE=90°-∠B=90°-62°=28°，
∵∠FDC=90°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠EDF=180°-∠BDE-∠FDC=180°-28°-90°=62°．
答：∠EDF的大小为62°．

6. 如图所示,AB,ED分别垂直于BD,点B,D是垂足,且$\angle ACB= \angle CED. 求证\triangle ACE$是直角三角形.

答案： 【解析】：本题考查了平角的定义及直角三角形的判定，根据已知条件易得$\angle BAC+\angle ACB=90^\circ$，$\angle DEC+\angle ECD=90^\circ$，再由$\angle ACB= \angle CED$，可得$\angle BAC=\angle ECD$，从而可得$\angle BAC+\angle ECD=90^\circ$，再结合平角为$180^\circ$，可得到$\angle ACE=90^\circ$，即可求证。
【答案】：证明：
∵$AB\perp BD,ED\perp BD$，
∴$\angle B=\angle D=90^\circ$，
∴$\angle BAC+\angle ACB=90^\circ,\angle DEC+\angle ECD=90^\circ$，
∵$\angle ACB= \angle CED$，
∴$\angle BAC=\angle ECD$，
∴$\angle BAC+\angle ECD=90^\circ$，
∵$\angle BAC+\angle ECD+\angle ACE=180^\circ$，
∴$\angle ACE=180^\circ-(\angle BAC+\angle ECD)=90^\circ$，
∴$\triangle ACE$是直角三角形。

7. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^\circ,$BF平分$\angle ABC,$$\angle AEF= \angle AFE. 求证\triangle ACD$是直角三角形.

答案： 证明：
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，
∴$\angle ABC+\angle C=90^\circ$。
∵BF平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
∵$\angle AEF=\angle AFE$，且$\angle AEF=\angle BED$（对顶角相等），
∴$\angle AFE=\angle BED$。
∵$\angle AFE+\angle ABF=90^\circ$（直角三角形两锐角互余），
∴$\angle BED+\angle CBF=90^\circ$。
在$\triangle BED$中，$\angle BDE=180^\circ-(\angle BED+\angle CBF)=90^\circ$，
∴$\angle ADC=\angle BDE=90^\circ$（对顶角相等）。
∴$\triangle ACD$是直角三角形。