《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

9. 阅读题.
材料一：若一个整数$m能表示成a^2 - b^2$($a$,$b$为整数)的形式,则称$m$为“完美数”.例如$3 = 2^2 - 1^2$,$9 = 3^2 - 0^2$,$12 = 4^2 - 2^2$,则3,9,12都是“完美数”.再如$M = x^2 + 2xy = (x + y)^2 - y^2$($x$,$y$是整数),所以$M$也是“完美数”.
材料二：任何一个正整数$n$都可以进行这样的分解：$n = pq$($p$,$q$是正整数,且$p \leq q$).如果$p$,$q在n$的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称$pq是n$的最佳分解,并且规定$F(n) = \frac{p}{q}$.例如$18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6$,这三种分解中,3和6的差的绝对值最小,所以就有$F(18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
请解答下列问题：
(1)8______是(填写“是”或“不是”)一个完美数,$F(8) = $______$\frac{1}{2}$；
(2)如果$m和n$都是“完美数”,试说明$mn$也是“完美数”.
设$m=a^2 - b^2$，$n=c^2 - d^2$（$a,b,c,d$为整数），则$mn=(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)=(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$，因为$a,b,c,d$是整数，所以$ac + bd$，$ad + bc$是整数，所以$mn$是完美数。

答案： 【解析】：
(1)
首先，我们需要验证8是否为一个完美数。根据完美数的定义，我们需要找到两个整数$a$和$b$，使得$a^2 - b^2 = 8$。
我们可以找到这样的一组解：$a = 3, b = 1$，因为$3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$。
所以，8是一个完美数。
接下来，我们需要找到8的最佳分解，即找到两个正整数$p$和$q$，使得$p \leq q$，$pq = 8$，并且$|p - q|$的值最小。
8的因数分解有：$1 × 8$，$2 × 4$。其中，$2$和$4$的差的绝对值最小。
所以，$F(8) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(2)
我们需要证明如果$m$和$n$都是完美数，那么$mn$也是完美数。
设$m = a^2 - b^2$，$n = c^2 - d^2$，其中$a, b, c, d$都是整数。
考虑$mn$的表达式：
$mn = (a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$
利用平方差公式，我们可以将其转化为：
$mn = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$
由于$a, b, c, d$都是整数，所以$ac + bd$和$ad + bc$也是整数。
因此，$mn$可以表示为两个整数的平方差，即$mn$是完美数。
【答案】：
(1)是；$\frac{1}{2}$
(2)见上述解析