《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F. 若△ABC 的面积为$ 21 cm^2,AB= 8 cm,AC= 6 cm,$则 DE 的长为______cm.
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3

答案： 【解析】：
本题可根据角平分线的性质以及三角形面积公式来求解$DE$的长度。
步骤一：根据角平分线的性质得到$DE$与$DF$的关系
已知$AD$为$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = DF$。
步骤二：分别表示出$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$S$表示面积，$a$表示底边长，$h$表示这条底边对应的高），可得：
$\triangle ABD$的面积$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× DE$，已知$AB = 8cm$，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× 8× DE = 4DE$。
$\triangle ACD$的面积$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× DF$，因为$DE = DF$，$AC = 6cm$，所以$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× 6× DE = 3DE$。
步骤三：根据$\triangle ABC$的面积列出关于$DE$的方程并求解
因为$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，已知$S_{\triangle ABC}=21cm^2$，所以可得方程$4DE + 3DE = 21$，即$7DE = 21$，两边同时除以$7$，解得$DE = 3cm$。
【答案】：$3$

2. 如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E. 已知 PD= 7 cm,当 PE= 7cm 时,点 P 在∠AOB 的平分线上.
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答案： 解：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴当PD=PE时，点P在∠AOB的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵PD=7cm，
∴PE=7cm。
7

3. △ABC 的周长为 8,面积为 10. 若其内部一点 O 到三边的距离相等,则点 O 到 AB 的距离为2.5.

答案： 【解析】：
本题主要考查角平分线的性质。
因为点$O$到三角形三边的距离相等，根据角平分线的性质，点$O$是三角形三个内角的平分线的交点。
设点$O$到$AB$的距离为$r$，则这个距离也是点$O$到$BC$和$AC$的距离。
三角形的面积可以表示为$S_{\bigtriangleup ABC} =\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r +\frac{1}{2}AC\cdot r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)\cdot r$。
已知$AB+BC+AC=8$，$S_{\bigtriangleup ABC}=10$，代入上述公式得：
$10=\frac{1}{2}× 8× r$
解得$r=2.5$。
所以点$O$到$AB$的距离为$2.5$。
【答案】：
2.5

4. 如图所示,∠B= ∠C= 90°. 若 M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC,且∠ADC= 110°,则∠MAB= ______.
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35°

答案： 解：过点M作ME⊥AD于点E。
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵M是BC的中点，
∴MB=MC，
∴ME=MB。
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠ADC=110°，
∴∠DAB=180°-110°=70°。
∵AM平分∠DAB，
∴∠MAB=∠DAB/2=70°/2=35°。
35°

5. 在四边形 ABCD 中,∠C= ∠D= 90°,O 为 CD 的中点,OA 平分∠BAD,如图所示. 求证：
(1) OB 平分∠ABC；
(2) AO⊥BO；
(3) AD+BC= AB.
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答案：
(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA平分∠BAD，∠D=90°，OE⊥AB，
∴OD=OE，
∵O为CD中点，
∴OD=OC，
∴OE=OC，
∵∠C=90°，OE⊥AB，
∴OB平分∠ABC.
(2)证明：由
(1)知OD=OE=OC，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l} AO=AO\\ OD=OE\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠AOD=∠AOE，
同理Rt△BCO≌Rt△BEO(HL)，
∴∠BOE=∠BOC，
∵∠AOD+∠AOE+∠BOE+∠BOC=180°，
∴2∠AOE+2∠BOE=180°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，
∴AO⊥BO.
(3)证明：由
(2)知Rt△ADO≌Rt△AEO，Rt△BCO≌Rt△BEO，
∴AD=AE，BC=BE，
∵AE+BE=AB，
∴AD+BC=AB.