《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在△ABC中,BD⊥AC于点D,点E在CD上. 若BD= 2.5,BC= 4.8,则线段BE的长可以是 3.(写出一个即可)

答案： 【解析】：本题可根据三角形三边关系来确定线段$BE$的取值范围，进而写出一个符合条件的值。
在$\triangle BDE$中，因为$BD\perp AC$，所以$\angle BDE = 90^{\circ}$，根据直角三角形三边关系可知$BE\gt BD$。
在$\triangle BCE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，$BC - EC\lt BE\lt BC + EC$，又因为$EC\gt0$，所以$BE\lt BC + EC$一定成立，且$BE\gt BC - EC$，由于$EC$最小趋近于$0$，此时$BE$趋近于$BC$，但$BE\lt BC$不成立（因为$E$在$CD$上，$BE$是$\triangle BCE$的一边），所以$BE$的取值范围是$BD\lt BE\lt BC$。
已知$BD = 2.5$，$BC = 4.8$，即$2.5\lt BE\lt 4.8$，那么在这个范围内任取一个值即可，比如$3$。
【答案】：$3$

2. 如图所示,为使人字梯更稳固,可在梯子中间安装一个“拉杆”,这样做利用的数学原理是 三角形的稳定性.

答案： 【解析】：本题考查了三角形的稳定性。
题目描述了人字梯中间安装“拉杆”的现象，要求解释这样做利用的数学原理。
人字梯原本是一个不稳定的结构，因为它容易在受到外力时发生形变。
为了增强其稳固性，人们在梯子中间安装了一个“拉杆”。
安装“拉杆”后，人字梯的结构被转化为了包含多个三角形的结构。
在几何学中，三角形是一个稳定的结构，因为三个不共线的点可以确定一个平面，并且当三角形的三边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了。
因此，三角形不容易在受到外力时发生形变。
由此可以推断，安装“拉杆”的目的是为了利用三角形的稳定性来增强人字梯的稳固性。
【答案】：三角形的稳定性

3. 定义：若一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”. 若△ABC是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为 ______1.5或4.

答案： 解：情况一：设第三条边为x，若2为较短边，3为较长边，则3=2×1.5，不符合倍长定义；若2为较短边，x为较长边，则x=2×2=4。此时三边长为2，3，4，满足2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3，能构成三角形。
情况二：若3为较短边，x为较长边，则x=2×3=6。此时三边长为2，3，6，因为2+3=5＜6，不满足三角形三边关系，舍去。
情况三：若x为较短边，2为较长边，则2=2x，解得x=1。此时三边长为1，2，3，因为1+2=3，不满足三角形三边关系，舍去；若x为较短边，3为较长边，则3=2x，解得x=1.5。此时三边长为1.5，2，3，满足1.5+2＞3，2+3＞1.5，1.5+3＞2，能构成三角形。
综上，第三条边的长为1.5或4。

4. 若三角形的三边长分别为6,10,2x＋3,且x为奇数,试求x的值.

答案： 解：根据三角形三边关系，得
10 - 6 ＜ 2x + 3 ＜ 10 + 6
即 4 ＜ 2x + 3 ＜ 16
4 - 3 ＜ 2x ＜ 16 - 3
1 ＜ 2x ＜ 13
0.5 ＜ x ＜ 6.5
因为x为奇数，所以x=1，3，5

5. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)化简：|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|.______
(2)若a= 2,b= 5,且三角形的周长为偶数,求c的值.______

答案：
(1)解：
∵a,b,c是△ABC的三边长
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a
∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，a+b-c＞0
∴|a-b-c|－|b-c-a|＋|a＋b－c|
=-(a-b-c)-[-(b-c-a)]+(a+b-c)
=-a+b+c+b-c-a+a+b-c
=(-a-a+a)+(b+b+b)+(c-c-c)
=-a+3b-c
(2)解：
∵a=2，b=5
∴5-2＜c＜5+2，即3＜c＜7
∵三角形周长为偶数，a+b=7为奇数
∴c为奇数
∴c=5

6. 如图所示,P是△ABC内一点,求证AB＋AC＞PB＋PC.

答案： 【解析】：本题可根据三角形三边关系来证明$AB + AC＞PB + PC$。三角形三边关系为：三角形任意两边之和大于第三边。我们可以通过构造辅助线，将$AB$、$AC$、$PB$、$PC$转化到同一个或几个三角形中，再利用三边关系进行证明。
证明：延长$BP$交$AC$于点$D$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$AB + AD＞BD$。
因为$BD = PB + PD$，所以$AB + AD＞PB + PD$ ①。
在$\triangle PDC$中，同样根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$PD + DC＞PC$ ②。
将①$+$②可得：$AB + AD + PD + DC＞PB + PD + PC$。
两边同时减去$PD$，得到$AB + AD + DC＞PB + PC$。
又因为$AD + DC = AC$，所以$AB + AC＞PB + PC$。
【答案】：证明：延长$BP$交$AC$于点$D$。
在$\triangle ABD$中，$AB + AD＞BD$，
因为$BD = PB + PD$，所以$AB + AD＞PB + PD$。
在$\triangle PDC$中，$PD + DC＞PC$。
将上述两个不等式相加得：$AB + AD + PD + DC＞PB + PD + PC$，
两边同时减去$PD$，可得$AB + AD + DC＞PB + PC$。
因为$AD + DC = AC$，所以$AB + AC＞PB + PC$。