《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

11. 如果$a^{c}= b$,那么我们规定$(a,b)= c$.例如：$\because2^{3}= 8$,$\therefore(2,8)= 3$.
(1)根据上述规定,$(3,27)= $3；
(2)若$(3,5)= x$,$(3,6)= y$,$(3,30)= z$,求证$x + y = z$.
证明：
由于$3^{x} = 5$，$3^{y} = 6$，$3^{z} = 30$，
根据同底数幂的乘法法则，有
$3^{x} \cdot 3^{y} = 3^{x+y} = 5 × 6 = 30 = 3^{z}$
所以$x + y = z$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及新定义运算。
(1) 根据题目中的新定义，如果$a^{c} = b$，那么$(a,b) = c$。
对于$(3,27)$，需要找到一个数$c$，使得$3^{c} = 27$。
显然，$3^{3} = 27$，
所以$(3,27) = 3$。
(2) 对于$(3,5) = x$，$(3,6) = y$，$(3,30) = z$，
根据定义，有$3^{x} = 5$，$3^{y} = 6$，$3^{z} = 30$。
需要证明$x + y = z$。
根据同底数幂的乘法法则，$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，
所以$3^{x} \cdot 3^{y} = 3^{x+y}$。
将$3^{x} = 5$和$3^{y} = 6$代入上式，
得到$5 × 6 = 3^{x+y}$，
即$30 = 3^{x+y}$。
又因为$3^{z} = 30$，
所以$3^{x+y} = 3^{z}$。
由于底数相同，指数也必须相同，
所以$x + y = z$。
【答案】：
(1) $3$
(2) 证明：
由于$3^{x} = 5$，$3^{y} = 6$，$3^{z} = 30$，
根据同底数幂的乘法法则，有
$3^{x} \cdot 3^{y} = 3^{x+y} = 5 × 6 = 30 = 3^{z}$
所以$x + y = z$。

12. 下面是小文同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解：$(3x + 2)(3x - 2)-(3x - 1)^{2}= (3x)^{2}-2^{2}-[(3x)^{2}-6x + 1]$……第一步
$=9x^{2}-4-(9x^{2}-6x + 1)$……第二步
$=9x^{2}-4-9x^{2}-6x - 1$……第三步
$=-6x - 5$.……第四步
任务一：
(1)以上解题过程中,用到的乘法公式有平方差公式（或完全平方公式）(写出一个即可).
(2)从第三步开始出现错误,错误的原因是去掉括号时，没有将括号里的每一项都变号.
任务二：
(3)请写出该整式化简正确的解答过程.
$(3x + 2)(3x - 2)-(3x - 1)^{2}$
$= (3x)^{2}-2^{2}-(9x^{2}-6x+1)$
$= 9x^{2}-4-9x^{2}+6x-1$
$= 6x - 5$

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的化简，乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的应用，以及整式化简过程中的符号处理。
(1)在解题过程中，用到的乘法公式有平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$和完全平方公式$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，题目中主要用到的是平方差公式。
(2)观察小文同学的解题过程，可以发现第一步到第二步的转换中，小文同学正确地将$(3x + 2)(3x - 2)$化简为$9x^{2}-4$，但在处理$(3x - 1)^{2}$时，小文同学将其错误地展开为$[(3x)^{2}-6x + 1]$，而正确的展开应为$9x^{2}-6x+1$。然后在第三步中，小文同学在去掉括号时，没有将$-(9x^{2}-6x + 1)$中的$-1$分配到括号内的每一项，导致$-1$只作用于$1$，而忽略了$-6x$，这是一个常见的符号处理错误，从第三步开始出现错误。
(3)正确的解答过程应为：首先应用平方差公式和完全平方公式将原式展开，然后合并同类项，注意在去括号时的符号处理。
【答案】：
(1)平方差公式（或完全平方公式）
(2)三；去掉括号时，没有将括号里的每一项都变号
(3)
$(3x + 2)(3x - 2)-(3x - 1)^{2}$
$= (3x)^{2}-2^{2}-(9x^{2}-6x+1)$
$= 9x^{2}-4-9x^{2}+6x-1$
$= 6x - 5$