《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

7. 已知在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D,DE//BC.
(1)如图①所示,求证△CDE是等腰三角形.
(2)如图②所示,DE平分∠ADC交AC于点E,∠ABC= 30°,在BC边上取点F,使BF= DF. 若BC= 12,求DF的长.

答案： 【解析】：本题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义以及含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质。
（1）要证明$\triangle CDE$是等腰三角形，可通过证明$\angle DCE=\angle EDC$，利用角平分线的定义和平行线的性质可证得。
（2）要求$DF$的长，可先根据已知条件推出$\triangle BDF$是等腰三角形，再结合平行线的性质和角平分线的定义推出$DE=CE$，进而得到$\triangle CDE$是等边三角形，最后根据$BC$的长度求出$DF$的长。
【答案】：
(1)证明：
∵$CD$平分$\angle ACB$，
∴$\angle DCE=\angle DCB$。
∵$DE// BC$，
∴$\angle EDC=\angle DCB$（两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle DCE=\angle EDC$。
∴$DE=CE$（等角对等边）。
∴$\triangle CDE$是等腰三角形。
(2)
∵$DE$平分$\angle ADC$，
∴$\angle ADE=\angle EDC$。
∵$DE// BC$，
∴$\angle ADE=\angle ABC=\angle EDC=\angle DCB= 30^{\circ}$（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle ACD=\angle DCB=\angle EDC= 30^{\circ}$。
∴$DE=CE$（等角对等边）。
又
∵$\angle ACB = 2\angle DCB = 60^{\circ}$，
∴$\triangle CDE$是等边三角形。
∴$DE=CE=CD$。
∵$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle DFB=\angle ABC + \angle FDE=\angle ABC + \angle EDC = 60^{\circ}$，$BF = DF$，
∴$\triangle BDF$是等边三角形。
∴$BD = DF = BF$。
∵$BC = 12$，即$BF + DF + CE + DE = 12$，$DE=CE=DF=BF$，
∴$4DF = 12$。
∴$DF = 4$。

8. 如图所示,O是等边三角形ABC内一点,D是△ABC外一点,∠AOB= 110°,∠BOC= α,△BOC≌△ADC,∠OCD= 60°,连接OD.
(1)求证△OCD是等边三角形；
(2)当α= 150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.

答案：

(1)证明：
∵△BOC≌△ADC，

∴OC=DC。

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等边三角形。

(2)解：△AOD是直角三角形。理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC=60°。

∵△BOC≌△ADC，a=150°，

∴∠ADC=∠BOC=a=150°，

∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，

∴△AOD是直角三角形。

(3)解：
∵△OCD是等边三角形，

∴∠COD=∠ODC=60°。

∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=a，

∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−a−60°=190°−a，

∠ADO=∠ADC−∠ODC=a−60°，

∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−a)−(a−60°)=50°。

①当∠AOD=∠ADO时，190°−a=a−60°，

∴a=125°；

②当∠AOD=∠OAD时，190°−a=50°，

∴a=140°；

③当∠ADO=∠OAD时，a−60°=50°，

∴a=110°。

综上所述，当a=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形。