《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 式子①$\frac{1}{5}x$,②$\frac{a^2 - b^2}{a - b}$,③$-3x^2$,④0,⑤$\frac{1}{x + 1}$中,分式为②⑤,整式为①③④.(均填序号)

答案： 【解析】：
本题考查了分式和整式的定义。
分式定义为：如果$a$和$b$是代数式，$b \neq 0$，那么形如$\frac{a}{b}$的代数式称为分式。
整式定义为：代数式中，不含有分母，且分母中不含有未知数的式子为整式。
根据这两个定义，我们可以逐一判断给出的五个式子：
①$\frac{1}{5}x$：虽然形似分数，但因为分母为常数5，不含有未知数，所以它是一个整式。
②$\frac{a^2 - b^2}{a - b}$：分母含有未知数$a$和$b$，所以它是一个分式。
③$-3x^2$：不含有分母，所以它是一个整式。
④$0$：显然是一个整式。
⑤$\frac{1}{x + 1}$：分母含有未知数$x$，所以它是一个分式。
【答案】：
分式为：②⑤；
整式为：①③④。

2.(1)当$x \neq -1$时,分式$\frac{1}{x + 1}$有意义；
(2)当$x = \frac{4}{3}$时,分式$\frac{2x + 1}{3x - 4}$无意义；
(3)当$x = -1$时,分式$\frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$的值为0.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式有意义、无意义和值为0的条件。
(1) 对于分式$\frac{1}{x + 1}$来说，要使其有意义，其分母$x + 1$不能为0。
因此，需要解不等式$x + 1 \neq 0$，解得$x \neq -1$。
(2) 对于分式$\frac{2x + 1}{3x - 4}$来说，要使其无意义，其分母$3x - 4$必须为0。
因此，需要解方程$3x - 4 = 0$，解得$x = \frac{4}{3}$。
(3) 对于分式$\frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$来说，要使其值为0，需要满足分子$x^2 - 1$为0且分母$x^2 + x - 2$不为0。
首先解方程$x^2 - 1 = 0$，得到$x = \pm 1$。
然后检验这两个解是否使得分母为0。
当$x = 1$时，$x^2 + x - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$，所以$x = 1$不是解。
当$x = -1$时，$x^2 + x - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 \neq 0$，所以$x = -1$是解。
【答案】：
(1) $x \neq -1$
(2) $x = \frac{4}{3}$
(3) $x = -1$

3. 已知分式$\frac{4}{m - 1}$,当满足以下条件时,确定m的取值.
(1)该分式有意义；
(2)该分式的值大于0；
(3)该分式的值为正整数,且m为整数.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式有意义、分式值大于0以及分式值为正整数的条件。
(1) 对于分式$\frac{4}{m - 1}$有意义，需要满足分母$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$。
(2) 对于分式$\frac{4}{m - 1}$的值大于0，需要满足分子分母同号。由于分子4始终为正，所以需要$m - 1 ＞ 0$，即$m ＞ 1$。
(3) 对于分式$\frac{4}{m - 1}$的值为正整数，且m为整数，需要满足$m - 1$能整除4且$m - 1 ＞ 0$。考虑4的正约数有1, 2, 4，所以$m - 1$可以取这四个值，即$m - 1 = 1, 2, 4$，解得$m = 2, 3, 5$。
【答案】：
(1) 解：
∵ 分式$\frac{4}{m - 1}$有意义，
∴ $m - 1 \neq 0$，
即 $m \neq 1$。
(2) 解：
∵ 分式$\frac{4}{m - 1}$的值大于0，
∴ $m - 1 ＞ 0$，
即 $m ＞ 1$。
(3) 解：
∵ 分式$\frac{4}{m - 1}$的值为正整数，且m为整数，
∴ $m - 1$能整除4且$m - 1 ＞ 0$，
∴ $m - 1 = 1, 2, 4$，
解得 $m = 2, 3, 5$。

4. 当x为何值时,下列分式的值为0？
(1)$\frac{x + 6}{x}$；
(2)$\frac{4x}{20 - 2x}$；
(3)$\frac{|x| - 2}{x - 2}$.

答案：
(1)解：要使分式$\frac{x + 6}{x}$的值为0，则分子$x + 6 = 0$且分母$x \neq 0$。
由$x + 6 = 0$，得$x = -6$。
当$x = -6$时，分母$x = -6 \neq 0$，所以$x = -6$。
(2)解：要使分式$\frac{4x}{20 - 2x}$的值为0，则分子$4x = 0$且分母$20 - 2x \neq 0$。
由$4x = 0$，得$x = 0$。
当$x = 0$时，分母$20 - 2×0 = 20 \neq 0$，所以$x = 0$。
(3)解：要使分式$\frac{|x| - 2}{x - 2}$的值为0，则分子$|x| - 2 = 0$且分母$x - 2 \neq 0$。
由$|x| - 2 = 0$，得$|x| = 2$，即$x = 2$或$x = -2$。
当$x = 2$时，分母$x - 2 = 0$，分式无意义，舍去；
当$x = -2$时，分母$x - 2 = -4 \neq 0$，所以$x = -2$。

5. 已知a,b,c均是非零实数,请完成下面的探索：
(1)求$\frac{a}{|a|}$的值；
(2)当$ab ＞ 0$时,求$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|}$的值.

答案：
(1)
当$a ＞ 0$时，$|a| = a$，$\frac{a}{|a|} = \frac{a}{a} = 1$；
当$a ＜ 0$时，$|a|=-a$，$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$。
综上，$\frac{a}{|a|}$的值为$1$或$-1$。
(2)
因为$ab＞0$，所以$a$，$b$同号。
当$a＞0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{b}{|b|}=1$，原式$=1 + 1=2$；
当$a ＜ 0$，$b ＜ 0$时，$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{b}{|b|}=-1$，原式$=-1 + (-1)=-2$。
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值为$2$或$-2$。

6. 我们知道：“两数相除,同号得正.”请用这一知识解决问题：如果分式$\frac{x}{x + 2}$的值为正数,求x的取值范围.

答案： 解：因为分式$\frac{x}{x + 2}$的值为正数，所以分子与分母同号。
情况一：$\begin{cases}x＞0 \\ x + 2＞0\end{cases}$
解$x + 2＞0$，得$x＞-2$
所以此情况的解集为$x＞0$
情况二：$\begin{cases}x＜0 \\ x + 2＜0\end{cases}$
解$x + 2＜0$，得$x＜-2$
所以此情况的解集为$x＜-2$
综上，$x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-2$