《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

10. 已知直线 $ y = (1 - 3k)x + 2k - 1 $。求：
(1)$ k $ 为何值时,直线过原点；
(2)$ k $ 为何值时,直线与 $ y $ 轴的交点坐标是$(0,-2)$；
(3)$ k $ 为何值时,直线与 $ x $ 轴交于点$(\frac{3}{4},0)$；
(4)$ k $ 为何值时,该直线与直线 $ y = -3x - 5 $ 平行。

答案： 解:
(1)当$2k-1=0$时,$k=\frac{1}{2}$,此时直线过原点。
(2)当$x=0$时,$y=-2$,即$2k-1=-2$,解得$k=-\frac{1}{2}$,此时直线与y轴的交点坐标是$(0,-2)$。
(3)当$x=\frac{3}{4}$时,$y=0$,即$0=\frac{3}{4}(1-3k)+2k-1$,解得$k=-1$,此时直线与x轴交于点$(\frac{3}{4},0)$。
(4)当$1-3k=-3$,且$2k-1\neq-5$,即$k=\frac{4}{3}$时,该直线与直线$y=-3x-5$平行。

11. 阅读下面的材料：
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义。下面就两个一次函数的图象所对应的两条直线,给出它们平行的定义：设一次函数 $ y = k_1x + b_1(k_1 \neq 0) $ 的图象为直线 $ m $,一次函数 $ y = k_2x + b_2(k_2 \neq 0) $ 的图象为直线 $ n $,若 $ k_1 = k_2 $,且 $ b_1 \neq b_2 $,我们就称直线 $ m $ 与直线 $ n $ 互相平行。已知一次函数 $ y = -2x $ 的图象为直线 $ l_1 $,过点 $ P(1,4) $ 且与已知直线 $ l_1 $ 平行的直线为 $ l_2 $。
解答下面的问题：
(1)求 $ l_2 $ 对应的函数表达式；
(2)设直线 $ l_2 $ 分别与 $ y $ 轴、$ x $ 轴交于点 $ A,B $,过坐标原点 $ O $ 作 $ OC \perp AB $,垂足为 $ C $,求 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 之间的距离；
(3)在(2)的情况下,若 $ Q $ 为线段 $ OA $ 上一动点,求 $ QP + QB $ 的最小值,并求取得最小值时点 $ Q $ 的坐标；
(4)在(2)的情况下,在 $ x $ 轴上找一点 $ M $,使$\triangle BMP $ 是以 $ PB $ 为腰的等腰三角形,请直接写出点 $ M $ 的坐标。

答案： 解:
(1)因为$l_{1}// l_{2}$,所以设直线$l_{2}$的函数表达式为$y=-2x+b(b\neq0)$。把点P的坐标$(1,4)$代入上式,得$4=-2+b$,所以$b=6$,所以$l_{2}$对应的函数表达式为$y=-2x+6$。
(2)直线$l_{2}$分别与y轴、x轴交于点A,B,它们的坐标分别为$(0,6),(3,0)$,所以$OA=6,OB=3$,则$AB=3\sqrt{5}$。因为$OA× OB=AB× OC$,所以$OC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$,即$l_{1}$和$l_{2}$之间的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3)设点B关于y轴对称的点为$B'$,则$B'(-3,0)$,连接$B'P$交y轴于点Q,此时$QP+QB$最小,所以$QP+QB$的最小值为$B'P$的长度。又$B'P=4\sqrt{2}$,所以$QP+QB$的最小值为$4\sqrt{2}$。由$P(1,4),B'(-3,0)$得直线$B'P$对应的函数表达式为$y=x+3$,所以当$QP+QB$取得最小值时,点Q的坐标是$(0,3)$。
(4)$(-1,0),(3+2\sqrt{5},0),(3-2\sqrt{5},0)$。