《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

7. 若$a-b= \sqrt{2}-1$,$ab= \sqrt{2}$,则代数式$(a - 1)(b + 1)$的值等于(B)。
A.$2\sqrt{2}+2$
B.$2\sqrt{2}-2$
C.$2\sqrt{2}$
D.2

答案： B

8. 已知$x - 1= \sqrt{2}$,则$\sqrt{x^{2}-2x+3}$的值是2。

答案： 2

9. 已知三角形三边$a$,$b$,$c的长分别为\sqrt{45}$cm,$\sqrt{80}$cm,$\sqrt{125}$cm。求这个三角形的周长和面积。

答案： 解:$a + b + c = \sqrt{45} + \sqrt{80} + \sqrt{125} = 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 12\sqrt{5}(cm)$。因为$a^{2} + b^{2} = (\sqrt{45})^{2} + (\sqrt{80})^{2} = 125$,$c^{2} = (\sqrt{125})^{2} = 125$,所以$a^{2} + b^{2} = c^{2}$,所以以a,b,c为边的三角形为直角三角形。所以这个三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×\sqrt{45}×\sqrt{80} = 30(cm^{2})$。所以这个三角形的周长为$12\sqrt{5}\ cm$,面积为$30\ cm^{2}$。

10. 问题背景：在$\triangle ABC$中,$AB$,$BC$,$AC三边的长分别为\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$,求此三角形的面积。
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1),再在网格中画出格点三角形$ABC$(即$\triangle ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处),如图①所示。这样不需要求$\triangle ABC$的高,借用网格和割补法就能计算出它的面积。
(1)$\triangle ABC$的面积为$\frac{7}{2}$。
思维拓展：(2)我们把上述求$\triangle ABC$面积的方法叫作构图法。若在$\triangle ABC$中,$BC$,$AB$,$AC的长分别为\sqrt{5}a$,$2\sqrt{2}a$,$\sqrt{17}a$($a＞0$),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长均为$a$)画出相应的$\triangle ABC$,并求它的面积。
探索创新：(3)若在$\triangle ABC$中,$AC$,$BC$,$AB的长分别为\sqrt{m^{2}+16n^{2}}$,$\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}$,$2\sqrt{m^{2}+n^{2}}$($m＞0$,$n＞0$,且$m\neq n$),试运用构图法利用图③的长方形网格,求这个三角形的面积。

答案：

(1)$\frac{7}{2}$
(2)(位置不唯一)$\triangle ABC$如图①所示,所以$S_{\triangle ABC} = 2a·4a - \frac{1}{2}×2a·2a - \frac{1}{2}a·2a - \frac{1}{2}a·4a = 3a^{2}$。
(3)设每个长方形小网格的长为n,宽为m,$\triangle ABC$如图②所示,所以$S_{\triangle ABC} = 3m·4n - \frac{1}{2}m·4n - \frac{1}{2}×3m·2n - \frac{1}{2}×2m·2n = 5mn$。