《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

9. 我们发现,用不同的方式表示同一图形的面积可以解决有关线段长度之间关系的问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法。请你用等面积法来探究下列问题：
(1)图①是著名的“赵爽弦图”示意图,由四个全等的直角三角形拼成,请你用它验证勾股定理；
(2)如图②,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,CD 是 AB 边上的高,$ AC = 4 $,$ BC = 3 $,求 CD 的长度；
(3)尝试构造一个图形,使它的面积能够解释 $ (a + b)(a + 2b) = a^{2} + 3ab + 2b^{2} $,并在图中标注出用 a,b 表示长度的线段。
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答案：
解:
(1)因为大正方形的面积为$c^{2}$,直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b-a)^{2}$,所以$c^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^{2}=2ab+b^{2}-2ab+a^{2}$,即$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
(2)在$Rt△ABC$中,因为$∠ACB=90^{\circ }$,
所以由勾股定理,可得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,解得$AB=5$。
又因为$CD⊥AB$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$,
所以$CD=\frac{12}{5}$。
(3)(答案不唯一,合理即可)如图,大长方形的面积既可以用$(a+b)(a+2b)$表示,也可以用$a^{2}+3ab+2b^{2}$表示,因此,$(a+b)(a+2b)=a^{2}+3ab+2b^{2}$。