《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

9. 观察下列各式：
$\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{4×2}{5}} = 2\sqrt{\frac{2}{5}}$；$\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{27}{10}} = \sqrt{\frac{9×3}{10}} = 3\sqrt{\frac{3}{10}}$……
(1) 按照上式所含的规律,根据你的理解填写：$\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = $$\sqrt{\frac{64}{17}}$$=$$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$$=$$4\sqrt{\frac{4}{17}}$,即$\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = $$4\sqrt{\frac{4}{17}}$；
(2) 猜想：$\sqrt{5 - \frac{5}{26}} = $$5\sqrt{\frac{5}{26}}$；
(3) 请用含有整数$n(n\geq2)$的式子写出你发现的规律,并说明理由。
规律：$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}(n\geq2)$。
理由：$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}+n - n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{2}·n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$。

答案： 1. （1）
首先计算$\sqrt{4 - \frac{4}{17}}$：
$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\sqrt{\frac{68 - 4}{17}}=\sqrt{\frac{64}{17}}$；
又因为$64 = 16×4$，所以$\sqrt{\frac{64}{17}}=\sqrt{\frac{16×4}{17}}$；
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，可得$\sqrt{\frac{16×4}{17}} = 4\sqrt{\frac{4}{17}}$。
故答案依次为：$\sqrt{\frac{64}{17}}$；$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$；$4\sqrt{\frac{4}{17}}$；$4\sqrt{\frac{4}{17}}$。
2. （2）
观察前面的式子规律：
对于$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$，$2$，$5 = 2^{2}+1$；对于$\sqrt{3 - \frac{3}{10}}$，$3$，$10 = 3^{2}+1$；对于$\sqrt{4-\frac{4}{17}}$，$4$，$17 = 4^{2}+1$。
那么对于$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$，因为$26 = 5^{2}+1$，所以$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$。
3. （3）
规律：$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}(n\geq2)$。
解（证明）：
先对$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}$进行化简，$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}}$（通分）。
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$n(n^{2}+1)-n=n^{3}+n - n=n^{3}$。
所以$\sqrt{\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$。
再根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，$\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{2}\cdot n}{n^{2}+1}}$，因为$n\geq2$，所以$\sqrt{\frac{n^{2}\cdot n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$。
综上，（1）$\sqrt{\frac{64}{17}}$，$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$，$4\sqrt{\frac{4}{17}}$，$4\sqrt{\frac{4}{17}}$；（2）$5\sqrt{\frac{5}{26}}$；（3）$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}(n\geq2)$，理由见上述证明过程。

10. 计算下列各题：
$\sqrt{2^{2}} = $2；$\sqrt{2.5^{2}} = $2.5；$\sqrt{(-3)^{2}} = $3；
$\sqrt{0^{2}} = $0；$\sqrt{(\frac{3}{5})^{2}} = $$\frac{3}{5}$；$\sqrt{(-\frac{2}{3})^{2}} = $$\frac{2}{3}$。
请根据计算结果,回答下列问题：
(1)$\sqrt{a^{2}}一定等于a$吗？你发现其中的规律了吗？请描述出来。
(2) 利用你总结的规律,计算：
①$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = $$\sqrt{5}-2$；
②若$a＞4$,试化简$\sqrt{a^{2} - 6a + 9} + |a - 4|$。
(3) 如图所示的是数$p$在数轴上的对应点的位置,化简$\sqrt{(p - 1)^{2}} + \sqrt{(p - 2)^{2}}$。

(1)不一定。$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert =\begin{cases}a(a\gt0)\\0(a=0)\\-a(a\lt0)\end{cases}$
(2)②因为$a\gt4$，所以$a-3\gt0$，$a-4\gt0$，则$\sqrt{a^{2}-6a + 9}+\vert a - 4\vert=\sqrt{(a - 3)^{2}}+\vert a - 4\vert=a - 3 + a - 4=2a - 7$
(3)由数轴可知$1\lt p\lt2$，所以$p - 1\gt0$，$p - 2\lt0$，则$\sqrt{(p - 1)^{2}}+\sqrt{(p - 2)^{2}}=(p - 1)+(2 - p)=1$

答案： 2 2.5 3 0 3/5 2/3
(1)不一定。√a²=|a|= {a(a＞0),0(a=0),-a(a＜0)。
(2)①√5 - 2 ②2a - 7
(3)1