《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

6. 计算$(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 2)$的结果是(C)。
A.$1$
B.$0$
C.$-1$
D.$-7$

答案： C

7. 一个直角三角形的两直角边长分别是$(3 - \sqrt{2})\mathrm{cm}和(3 + \sqrt{2})\mathrm{cm}$。求这个三角形的面积和周长。

答案： $\frac{7}{2}\ cm^2$ $(6+\sqrt{22})cm$

8. 在初中阶段,要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号,也就是说当分母中有无理数时,要将其化为有理数,实现分母有理化。比如：
(1)$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2)$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$。
试试看,你能将下列各式进行化简吗？
(1)$\frac{1}{\sqrt{2}}$；
(2)$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$；
(3)$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + … + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{9}}$。

答案： 解:
(1)$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
(3)因为$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{9}-\sqrt{8})}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{9-8}=\sqrt{9}-\sqrt{8}$，所以原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{9}-\sqrt{8})$$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{9}-\sqrt{8}$$=\sqrt{9}-1$$=3-1$$=2$。